Date : 2023
Type : Livre / Book
Type : Thèse / ThesisLangue / Language : anglais / English
Actions de groupes (mathématiques)
Classification Dewey : 516.35
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Résumé / Abstract : Le but de cette thèse est d’étudier des actions de groupe sur certaines variétés Symplectiques Holomorphes Irréductibles (nous utiliserons l’acronyme anglais IHS). Dans un premier temps, nous nous intéresserons aux surfaces de Kummer qui sont des surfaces K3 spéciales. Une surface de Kummer est obtenue comme désingularisation du quotient d’une surface abélienne par une involution ayant 16 points fixes isolés. Une telle surface admet naturellement une action symplectique de (Z/2Z)⁴, signifiant que l’action des éléments de ce groupe sur la 2-forme est triviale. Il est bien connu que les surfaces de Kummer sont des surfaces K3 contenant 16 courbes rationnelles lisses disjointes, appelées configuration de Nikulin. Réciproquement, selon Nikulin l’existence d’une telle configuration sur une surface K3 signifie qu’il s’agit d’une surface de Kummer. La question de l’existence de surfaces abéliennes non-isomorphes donnant lieu aux mêmes surfaces de Kummer est une question importante en géométrie algébrique, qui a déjà été étudiée dans la littérature, mais la construction explicite de configurations de 16 courbes rationnelles non-isomorphes reste un problème ouvert. Celui-ci a été traité récemment par X. Roulleau et A. Sarti dans plusieurs travaux, et dans cette thèse nous complétons cette étude. Ensuite nous nous intéresserons à des surfaces K3 admettant une action symplectique du groupe de Mathieu M₂₀. Ce travail a été réalisé en collaboration avec Paola Comparin (Universidad de La Frontera, Chili). Il a été montré par Mukai que l’ordre maximal d’un groupe fini agissant fidèlement et symplectiquement sur une surface K3 est 960 et si un tel groupe est d’ordre 960, alors il est isomorphe à M₂₀. Nous montrons qu’il existe une infinité de surfaces K3 avec cette action. En outre l’un des objectifs de cette thèse est de toutes les décrire et de comprendre quand il est possible de construire explicitement un modèle projectif. Une généralisation naturelle de ces résultats concerne les variétés IHS qui sont équivalentes par déformation au schéma de Hilbert de deux points sur une surface K3, dites de type K3[²]. Ce dernier point a été réalisé en collaboration avec Paola Comparin et Pablo Quezada Mora (Universidad de La Frontera, Chili). Dans un travail récent G. Höhn et G. Mason ont classifié les groupes qui peuvent agir symplectiquement sur une variété IHS de type K3[²], montrant que Z₃⁴ : A₆ est celui avec le plus grand ordre. Nous étudions les variétés IHS de type K3[²] pouvant admettre une telle action symplectique ainsi qu’un automorphisme non-symplectique. En particulier, nous prouvons qu’il existe une variété IHS de type K3[²] avec un groupe d’automorphismes fini d’ordre 174960 - qui est le plus grand ordre possible pour le groupe d’automorphismes d’une variété IHS de type K3[²] - et qu’il s’agit la variété Fano des droites de la cubique de Fermat.
Résumé / Abstract : The aim of this thesis is to study some group actions on some Irreducible Holomorphic Symplectic (IHS) manifolds. First of all we are interested in Kummer surfaces which are special K3 surfaces. A Kummer surface is obtained as the desingularization of the quotient of an abelian surface by an involution with 16 isolated fixed points. Such a surface naturally admits a symplectic action of (Z/2Z)⁴, meaning that the elements of this group act trivially on the 2-form. It is well known that Kummer surfaces are K3 surfaces containing 16 disjoint smooth rational curves, called a Nikulin configuration. Conversely, according to Nikulin the existence of such a configuration on a K3 surface means that this is a Kummer surface. The question of the existence of non-isomorphic abelian surfaces giving rise to the same Kummer surfaces is an important question in algebraic geometry, which has already been studied in the literature, but the explicit construction of configurations of 16 non-isomorphic rational curves remains an open problem. This one was recently treated by X. Roulleau and A. Sarti in several works, and in this thesis we complete this study. In a second part we are interested in K3 surfaces addmitting a symplectic action of the Mathieu group M₂₀. This work is a joint work with Paola Comparin (Universidad de La Frontera, Chile). It was shown by Mukai that the maximum order of a finite group acting faithfully and symplectically on a K3 surface is 960 and if such a group has order 960, then it is isomorphic to M₂₀. We show that there exists infinitely many K3 surfaces with this action and we describe them and their projective models, giving some explicit examples. A natural way to generalize these results is to deal with IHS manifolds which are deformation equivalent to the Hilbert scheme of two points of a K3 surface, called of K3[²]-type. This last topic is a joint work with Paola Comparin and Pablo Quezada Mora (Universidad de La Frontera, Chile). In a recent work G. Höhn and G. Mason classified the possible symplectic groups acting on an IHS manifold of K3[²]-type, finding that Z₃⁴ : A₆ is the symplectic group with the biggest order. We study the possible IHS manifolds of K3[²]-type with such a symplectic action and admitting also a non-symplectic automorphism. In particular we prove that there exists an IHS manifold of K3[²]-type with finite automorphism group of order 174960 - which is the biggest possible order for the automorphism group of an IHS manifold of K3[²]-type - and that it is the Fano variety of lines of the Fermat cubic fourfold.