Date : 2022
Type : Livre / Book
Type : Thèse / ThesisLangue / Language : français / French
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Résumé / Abstract : Le but principal de ce mémoire d'Habilitation à diriger des recherches (HDR) est de donner une synthèse de mes travaux scientifiques. Je commence cette synthèse par présenter mes résultats de thèse de doctorat (2005) qui concernent en particulier, la décomposition et le spectre d'un polynôme à coefficients dans un corps commutatif. Puis je présente mes résultats (seul ou collaboration) publiés après ma thèse de doctorat, notamment ceux qui traitent la déformation d'un polynôme. L'indécomposabilité et le spectre d'une fraction rationnelle et la propriété de la conservation d'irréductibilité d'un polynôme après spécialisation ; cette propriété généralise, en particulier, le problème de la déformation. Une grande partie de cette synthèse est consacrée aux résultats obtenus autour de l'hypothèse (H) de Schinzel-Sierpinski (1959) et certaines de ses variantes : son analogue sur un anneau de polynômes et ses versions relative et modulaire. Cette hypothèse concerne la primalité des valeurs d'une famille finie de polynômes à coefficients entiers. Pour finir cette partie, je présente une variante entière du théorème d'irréductibilité de Hilbert et quelques travaux en cours/perspectives. La majorité des résultats est présentée par des énoncés simples et est illustrée par des exemples.
Résumé / Abstract : The main purpose of this HDR thesis is to provide a summary of my scientific work. I begin this synthesis by presenting my doctoral thesis results (2005) wich concern, in particular, the decomposition and the spectrum of a polynomial with coefficients in a commutative field. Then I present my results (alone or in collaboration) published after my doctorate thesis, in particular those with deal with the deformation of a polynomial, the indecomposability and the spectrum of a rational function, the fixing of certain values of the spectrum of a rational function and the property of the conservation of irreductibility of a polynomial after specialization ; this property generalizes, in particular, the deformation problem. A last of this synthesis is devoted to the results obtained around the hypothesis (H) of Schinzel-Sierpinski) (1959) and some of its variants : analogous sounds on a ring of polynomials and its relative and modular versions. This assumption concerns the primality of the values of a finite family of polynomials with integer coefficients. To finish this part, I present an entire variant of Hilbert's irreductibility theorem and some works in progress/perspectives. The majority of the results are presented by simple statements and are illustrated by examples.