Date : 2020
Type : Livre / Book
Type : Thèse / ThesisLangue / Language : français / French
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Résumé / Abstract : Le mémoire de l'HDR présente une sélection de mes activités de recherche ayant consisté à étudier théoriquement et numériquement les zéros non-triviaux des fonctions L sur la ligne critique Re(s) = 1/2, où s est un nombre complexe. Les travaux variés présentés sont groupés en quatre parties. Les trois premières parties portent sur l'étude de quelques relations équivalentes à l'hypothèse de Riemann (HR) pour les fonctions L de la classe de Selberg, les fonctions L automorphes et les fonctions zêta associées aux corps de fonctions. Dans la première partie on étend le critère de positivité de Li à ces fonctions L. Dans la deuxième on présente le critère de Cardon et Robert et on reformule HR pour une large classe de séries de Dirichlet (classe de fonctions L automorphes) en utilisant la théorie des polynômes orthogonaux. Dans la troisième on donne une autre approche de HR pour les fonctions L de la classe (ou sous-classe) de Selberg en utilisant les fonctions super-zêta construites par les zéros d'une fonction de la classe de Selberg. La quatrième partie est consacrée à des travaux sur la distribution des zéros nontriviaux des fonctions L sur la ligne critique Re(s) = 1/2, ainsi que l'équirépartition et le signe des coefficients de Fourier des fonctions L de puissances symétriques. Des sommes sur les a-points de quelques fonctions L (i.e., les racines de l'équation L(s)-− a = 0, où a est un nombre complexe) ainsi que leurs dérivées k-ièmes sont aussi étudiées.
Résumé / Abstract : The HDR thesis presents a selection of my research activities which consisted in studying theoretically and numerically the non-trivial zeros of the functions L on the critical line Re(s) = 1/2, where s is a complex number. The various works presented are grouped into four parts. The first three parts deal with the study of some relations equivalent to the Riemann hypothesis (RH) for L-functions of the Selberg class, automorphic L-functions and zeta-functions associated with function fields. In the first part we extend the positivity criterion of Li to these L-functions. In the second we present the Cardon and Robert criterion and we reformulate RH for a large class of Dirichlet series (class of automorphic L-functions) using the theory of orthogonal polynomials. In the third we give another approach to RH for the L-functions of the Selberg class (or subclass) using the super-zeta functions constructed by the zeros of a function of the Selberg class. The fourth part is devoted to work on the distribution of nontrivial zeros of L-functions on the critical line Re(s) = 1/2, as well as the equal distribution and the sign of the Fourier coefficients of the symmetric powers L-functions . Sums over the a-points of some L-functions (i.e., the roots of the equation L(s) − a = 0, where a is a complex number) as well as their k-th derivatives are also studied.