Date : 2021
Type : Livre / Book
Type : Thèse / ThesisLangue / Language : anglais / English
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Résumé / Abstract : Cette thèse contient deux parties indépendantes. Dans la première partie, nous nous intéressons à la reconstruction de la condition initiale d'une équation aux dérivées partielles (EDP) non-linéaire, à savoir l'équation de Fokker-Planck, à partir de l'observation d'un mouvement brownien de Dyson à un instant t > 0. La solution de l'équation de Fokker-Planck peut être écrite comme la convolution libre de la condition initiale et de la distribution semi-circulaire. Nous proposons un estimateur non paramétrique de la condition initiale obtenue en effectuant la déconvolution libre via la méthode des fonctions de subordination. Cet estimateur statistique est original car il implique la résolution d'une équation à point fixe, et une déconvolution classique par une distribution de Cauchy. Ceci est dû au fait que, en probabilité libre, l'analogue de la transformée de Fourier est la R-transformée, liée à la transformée de Cauchy. Dans la littérature passée, le focus a été mis sur l'estimation des conditions initiales des EDP linéaires telles que l'équation de la chaleur, mais à notre connaissance, c'est la première fois que le problème est examiné pour une EDP non linéaire. La convergence de l'estimateur est prouvée et le "mean integrated squared error" est calculé, fournissant des vitesses de convergence similaires à celles connues pour les méthodes de déconvolution non paramétriques. Enfin, une étude de simulation illustre les bonnes performances de notre estimateur. Dans la deuxième partie de cette thèse, l'estimation non paramétrique pour la régression avec variables réponses circulaires est étudiée. Nous proposons un nouvel estimateur à noyau "warped" pour la fonction de régression en un point donné. La fenêtre du noyau est sélectionnée par la méthode de Goldenshluger-Lepski. En considérant le risque ponctuel au carré, nous obtenons une inégalité de type oracle et des vitesses de convergence sur la classe Holder.
Résumé / Abstract : This thesis contains two independent parts. In the first part, we are interested in reconstructing the initial condition of a non-linear partial differential equation (PDE), namely the Fokker-Planck equation, from the observation of a Dyson Brownian motion at a given time t > 0. The solution of the Fokker-Planck equation can be written as the free convolution of the initial condition and the semi-circular distribution. We propose a nonparametric estimator for the initial condition obtained by performing the free deconvolution via the subordination functions method. This statistical estimator is original as it involves the resolution of a fixed point equation, and a classical deconvolution by a Cauchy distribution. This is due to the fact that, in free probability, the analogue of the Fourier transform is the R-transform, related to the Cauchy transform. In past literature, there has been a focus on the estimation of the initial conditions of linear PDEs such as the heat equation, but to the best of our knowledge, this is the first time that the problem is tackled for a non-linear PDE. The convergence of the estimator is proved and the mean integrated squared error is computed, providing rates of convergence similar to the ones known for non-parametric deconvolution methods. Finally, a simulation study illustrates the good performances of our estimator. In the second part of this thesis, the nonparametric estimation for regression with circular responses is studied. We propose a new warped kernel estimator for the regression function at a given point. The bandwidth of kernel is selected by the method of Goldenshluger-Lepski. Under the consideration of pointwise squared risk, we obtain an oracle-type inequality and rates of convergence over Holder class.