Confluence of quantum K-theory to quantum cohomology for projective spaces / Alexis Roquefeuil ; sous la direction de Etienne Mann

Date :

Type : Livre / Book

Type : Thèse / Thesis

Langue / Language : anglais / English

Catalogue Worldcat

Géométrie algébrique

Invariants de Gromov-Witten

Symétrie miroir

Classification Dewey : 510

Mann, Etienne (1976-....) (Directeur de thèse / thesis advisor)

Perrin, Nicolas (1974-....) (Président du jury de soutenance / praeses)

Milanov, Todor (19..-....) (Rapporteur de la thèse / thesis reporter)

Roques, Julien (1980-....) (Rapporteur de la thèse / thesis reporter)

Di Vizio, Lucia (Membre du jury / opponent)

Chaput, Pierre-Emmanuel (Membre du jury / opponent)

Université d'Angers (Organisme de soutenance / degree-grantor)

École doctorale Mathématiques et sciences et technologies de l'information et de la communication (Rennes) (Ecole doctorale associée à la thèse / doctoral school)

Laboratoire angevin de recherche en mathématiques (Angers) (Equipe de recherche associée à la thèse / thesis associated research team)

Résumé / Abstract : En géométrie algébrique, les invariants de Gromov—Witten sont des invariants énumératifs qui comptent le nombre de courbes complexes dans une variété projective lisse qui vérifient des conditions d’incidence. En 2001, A. Givental et Y.P. Lee ont défini de nouveaux invariants, dits de Gromov—Witten K-théoriques, en remplaçant les définitions cohomologiques dans la construction des invariants de Gromov—Witten par leurs analogues K-théoriques. Une question essentielle est de comprendre comment sont reliées ces deux théories. En 2013, Iritani- Givental-Milanov-Tonita démontrent que les invariants K-théoriques peuvent être encodés dans une fonction qui vérifie des équations aux q-différences. En général, ces équations fonctionnelles vérifient une propriété appelée “confluence”, selon laquelle on peut dégénérer ces équations pour obtenir une équationdifférentielle. Dans cette thèse, on propose de comparer les deux théories de Gromov— Witten à l’aide de la confluence des équations aux q-différences. On montre que, dans le cas des espaces projectifs complexes, que ce principe s’adapte et que les invariants Kthéoriques peuvent être dégénérés pour obtenir leurs analogues cohomologiques. Plus précisément, on montre que la confluence de la petite fonction J de Givental K-théorique permet de retrouver son analogue cohomologique après une transformation par le caractère de Chern.

Résumé / Abstract : In algebraic geometry, Gromov— Witten invariants are enumerative invariants that count the number of complex curves in a smooth projective variety satisfying some incidence conditions. In 2001, A. Givental and Y.P. Lee defined new invariants, called Ktheoretical Gromov—Witten invariants. These invariants are obtained by replacing cohomological objects used in the definition of the usual Gromov—Witten invariants by their Ktheoretical analogues. Then, an essential question is to understand how these two theories are related. In 2013, Iritani-Givental- Milanov-Tonita show that K-theoretical Gromov—Witten invariants can be embedded in a function which satisfies a q-difference equation. In general, these functional equations verify a property called “confluence”, which guarantees that we can degenerate these equations to obtain a differential equation. In this thesis, we propose to compare our two Gromov—Witten theories through the confluence of q-difference equations. We show that, in the case of complex projective spaces, this property can be adapted to degenerate Ktheoretical invariants into their cohomological analogues. More precisely, we show that theconfluence of Givental’s small K-theoretical Jfunction produces its cohomological analogue after applying the Chern character.