Étude de quelques perturbations d'équations riches en symétries : résonances et stabilités / Joackim Bernier ; sous la direction de Erwan Faou et de Nicolas Crouseilles

Date :

Type : Livre / Book

Type : Thèse / Thesis

Langue / Language : français / French

Formes normales (mathématiques)

Schémas aux différences

Liapounov, Stabilité de

Schrödinger, Équation de

Faou, Erwan (19..-....) (Directeur de thèse / thesis advisor)

Crouseilles, Nicolas (1978-....) (Directeur de thèse / thesis advisor)

Université de Rennes 1 (Organisme de soutenance / degree-grantor)

École doctorale Mathématiques et sciences et technologies de l'information et de la communication (Rennes) (Ecole doctorale associée à la thèse / doctoral school)

Université Bretagne Loire (Autre partenaire associé à la thèse / thesis associated third party)

Institut de recherche mathématique (Rennes) (Laboratoire associé à la thèse / thesis associated laboratory)

Résumé / Abstract : Cette thèse est un recueil de constructions et de résultats variés autour de problèmes de résonances et de stabilités. Premièrement, on s'intéresse à la conception et à l'analyse de méthodes numériques pour des problèmes académiques tels que le problème de Dirichlet sur un segment ou l'équation de transport associée à une rotation du plan. Ensuite, on étend l'analyse linéaire classique des équations de Vlasov-Poisson autour d'états d'équilibre homogènes pour décrire des phénomènes multidimensionnels et non linéaires. Enfin, une large partie est consacrée à l'étude d'équations de Schrödinger non linéaires en dimension 1. D'une part, on étudie l'impact d'une semi-discrétisation naturelle sur les ondes solitaires progressives et la croissance des normes de Sobolev. D'autre part, on développe une nouvelle famille de formes normales permettant de décrire la dynamique des petites solutions régulières pendant des temps très longs.

Résumé / Abstract : This manuscript deals with many problems about resonance and stability. First, we design and analyse numerical methods for academic problems like the Dirichlet problem on a segment line or the transport equation associated with a two dimensional rotation. Then, we extend the classical linear analysis of Vlasov-Poisson equations near homogeneous equilibria to describe nonlinear and multidimensional phenomena. Finally, a large part of this thesis is devoted to nonlinear Schrödinger equations in dimension 1. On the one hand, we study the impact of a natural semi-discretisation on the solitary traveling waves and on the growth of the high order Sobolev norms. On the other hand, we develop a new family of normal forms to describe the dynamic of small and smooth solutions for very long times.