Intersections lagrangiennes pour les sous-variétés monotones et presque monotones / Nassima Keddari ; sous la direction de Mihai Damian

Date :

Type : Livre / Book

Type : Thèse / Thesis

Langue / Language : français / French

Variétés (mathématiques)

Géométrie symplectique

Systèmes hamiltoniens

Classification Dewey : 516.36

Damian, Mihai (19..-....) (Directeur de thèse / thesis advisor)

Barraud, Jean-François (19..-....) (Président du jury de soutenance / praeses)

Oancea, Alexandru (1976-....) (Rapporteur de la thèse / thesis reporter)

Laudenbach, François (1945-....) (Membre du jury / opponent)

Sandon, Sheila (19..-....) (Membre du jury / opponent)

Opshtein, Emmanuel (1977-....) (Membre du jury / opponent)

Université de Strasbourg (2009-....) (Organisme de soutenance / degree-grantor)

École doctorale Mathématiques, sciences de l'information et de l'ingénieur (Strasbourg ; 1997-....) (Ecole doctorale associée à la thèse / doctoral school)

Institut de recherche mathématique avancée (Strasbourg) (Laboratoire associé à la thèse / thesis associated laboratory)

Résumé / Abstract : Dans la première partie de cette thèse, on donne, sous certaines hypothèses, une minoration du nombre de points d’intersections d’une sous-variété Lagrangienne monotone L avec son image par une isotopie Hamiltonienne. Dans le cas où L est un espace K(pi, 1), et en particulier à courbure sectionnelle strictement négative, le minorant est 1 + beta1(L), où beta1 est le premier nombre de Betti à coefficients dans Z2. Une autre conséquence est la non-déplaçabilité d’un plongement Lagrangien monotone de RPn × K (où K est une sous-variété à courbure sectionnelle strictement négative telle que H1(K, Z) ≠ 0) dans certaines variétés symplectiques. Dans la seconde partie, on considère une sous-variété Lagrangienne monotone L non déplaçable. En utilisant l’homologie de Floer définie pour les Lagrangiennes qui sont C-1-proches de L, on obtient des informations sur son nombre de Maslov. De plus, si L peut être approchée par une suite de Lagrangiennes déplaçables, alors, sous certaines hypothèses topologiques sur L, l’énergie de déplacement des éléments de cette suite tend vers l’infini.

Résumé / Abstract : N the first part of the thesis, we give, under some hypotheses, a lower bound on the intersection number of a closed monotone Lagrangian submanifold L with its image by a generic Hamiltonianisotopy. For monotone Lagrangian submanifolds L which are K(pi, 1) and, in particular with negative sectional curvature, this bound is 1 + beta_1(L), where beta_1 is the first Betti number with coefficients in Z_2. Another consequence, is the non-displaceability of a monotone Lagrangian embedding of RPn x K (where K is a submanifold with negative sectional curvature such that H^1(K, Z) ≠ 0) in some symplectic manifolds. In the second part, given a closed monotone Lagrangian submanifold L, which is not displaceable, we use Floer homology defined on Lagrangians which are C^1 - close to L, to get information about it Maslov number. Besides, if L can be approached by a sequence of displaceable Lagrangians, then, under some topological assumptions on L, the displacement energy of the elements of this sequence converge to infinity.