Un théorème de Gallagher pour la fonction de Möbius / Mohamed Haye Betah ; sous la direction de Olivier Ramaré et de Mohamed Abdallahi Ould Beddi

Date :

Type : Livre / Book

Type : Thèse / Thesis

Langue / Language : français / French

Catalogue Worldcat

Mellin, Transformation de

Fonctions arithmétiques

Fonctions de plusieurs variables complexes

Möbius, Fonction de

Classification Dewey : 510

Ramaré, Olivier (Directeur de thèse / thesis advisor)

Ould Beddi, Mohamed Abdallahi (1966-....) (Directeur de thèse / thesis advisor)

Haouba, Ahmedou (19..-....) (Président du jury de soutenance / praeses)

Deshouillers, Jean-Marc (1946-....) (Rapporteur de la thèse / thesis reporter)

Roton, Anne-Gwénaëlle de (1976-....) (Membre du jury / opponent)

Cassaigne, Julien (Membre du jury / opponent)

Martin, Bruno (1978-.... ; Mathématicien) (Membre du jury / opponent)

Aix-Marseille Université (Organisme de soutenance / degree-grantor)

Université de Nouakchott (Organisme de cotutelle / degree co-grantor)

Ecole Doctorale Mathématiques et Informatique de Marseille (Marseille) (Ecole doctorale associée à la thèse / doctoral school)

Institut de mathématiques de Luminy (Marseille) (Laboratoire associé à la thèse / thesis associated laboratory)

Résumé / Abstract : La fonction de Möbius est définie par μ(n)= { 1{si n=1} \\ (-1)^k{si n est le produit de k nombres premiers distincts} \\ 0{si n contient un facteur carré} }. Nous avons démontré que pour x≥exp(10⁹) et h=x^{1−{1/16000}}, il existe dans chaque intervalle [x-h,x] des entiers n₁ avec μ(n₁)=1 et des entiers n₂ avec μ(n₂)=-1. Ce résultat est une conséquence d'un résultat plus général. Pour x≥exp(4x10⁶), 1/(√(logx))≤θ≤1/2000, h=x^{1−θ} et Q=(x/h)^{1/20} nous avons ∑_{q≤Q} log(Q/q) | ^∗∑_{χmodq} ∣ ∑_{x.−h≤n≤x} μ(n)χ(n) ∣ ≤ 10²⁰ hθ log(x) exp(−1/300θ); la somme ∑* portant sur les caractères primitifs sauf l'éventuel caractère exceptionnel. Et en particulier pour x≥exp(10⁹),∣ ∑_{x−.x^{1−1/16000}≤n≤x} μ(n) ∣ ≤ 1/100x^{1−1/16000}.

Résumé / Abstract : The Möbius function is defined by μ(n)= { 1{if n=1} \\ (-1)^k{if n is a product of k distinct prime numbers} \\ 0{if n contains a square factor} }. We demonstrate that for x≥exp(10⁹) and h=x^{1−{1/16000}}, it exists in each interval [x-h,x] integers n₁ with μ(n₁)=1 and integers n₂ with μ(n₂)=-1. This result is a consequence of a more general result. For x≥exp(4x10⁶), 1/(√(logx))≤θ≤1/2000, h=x^{1−θ} and Q=(x/h)^{1/20}, we have ∑_{q≤Q} log(Q/q) | ^∗∑_{χmodq} ∣ ∑_{x.−h≤n≤x} μ(n)χ(n) ∣ ≤ 10²⁰ hθ log(x) exp(−1/300θ); the sum ∑* relating to primitive characters except for possible exceptional character. And in particular for x≥exp(10⁹), ∣ ∑_{x−.x^{1−1/16000}≤n≤x} μ(n) ∣ ≤ 1/100x^{1−1/16000}.