Analyse mathématique et numérique de plusieurs problèmes non linéaires / Shuiran Peng ; sous la direction de Alain Miranville et de Laurence Cherfils

Date :

Type : Livre / Book

Type : Thèse / Thesis

Langue / Language : français / French

Langue / Language : anglais / English

Catalogue Worldcat

Anisotropie

Attracteurs (mathématiques)

Équations de Cahn-Hilliard

Simulation par ordinateur

Systèmes dynamiques non linéaires

Classification Dewey : 515.25

Miranville, Alain (Directeur de thèse / thesis advisor)

Cherfils, Laurence (1967-....) (Directeur de thèse / thesis advisor)

Chehab, Jean-Paul (Président du jury de soutenance / praeses)

Jauberteau, François (1959-....) (Rapporteur de la thèse / thesis reporter)

Gatti, Stefania (Rapporteur de la thèse / thesis reporter)

Petcu, Madalina (1976-....) (Membre du jury / opponent)

Université de Poitiers (Organisme de soutenance / degree-grantor)

École doctorale Sciences et ingénierie pour l'information, mathématiques (Limoges ; 2009-2018) (Ecole doctorale associée à la thèse / doctoral school)

Laboratoire de mathématiques et applications - LMA (Poitiers) (Laboratoire associé à la thèse / thesis associated laboratory)

Université de Poitiers. UFR des sciences fondamentales et appliquées (Autre partenaire associé à la thèse / thesis associated third party)

Résumé / Abstract : Cette thèse est consacrée à l’étude théorique et numérique de plusieurs équations aux dérivées partielles non linéaires qui apparaissent dans la modélisation de la séparation de phase et des micro-systèmes électro-mécaniques (MSEM). Dans la première partie, nous étudions des modèles d’ordre élevé en séparation de phase pour lesquels nous obtenons le caractère bien posé et la dissipativité, ainsi que l’existence de l’attracteur global et, dans certains cas, des simulations numériques. De manière plus précise, nous considérons dans cette première partie des modèles de type Allen-Cahn et Cahn-Hilliard d’ordre élevé avec un potentiel régulier et des modèles de type Allen-Cahn d’ordre élevé avec un potentiel logarithmique. En outre, nous étudions des modèles anisotropes d’ordre élevé et des généralisations d’ordre élevé de l’équation de Cahn-Hilliard avec des applications en biologie, traitement d’images, etc. Nous étudions également la relaxation hyperbolique d’équations de Cahn-Hilliard anisotropes d’ordre élevé. Dans la seconde partie, nous proposons des schémas semi-discrets semi-implicites et implicites et totalement discrétisés afin de résoudre l’équation aux dérivées partielles non linéaire décrivant à la fois les effets élastiques et électrostatiques de condensateurs MSEM. Nous faisons une analyse théorique de ces schémas et de la convergence sous certaines conditions. De plus, plusieurs simulations numériques illustrent et appuient les résultats théoriques.

Résumé / Abstract : This thesis is devoted to the theoretical and numerical study of several nonlinear partial differential equations, which occur in the mathematical modeling of phase separation and micro-electromechanical system (MEMS). In the first part, we study higher-order phase separation models for which we obtain well-posedness and dissipativity results, together with the existence of global attractors and, in certain cases, numerical simulations. More precisely, we consider in this first part higher-order Allen-Cahn and Cahn-Hilliard equations with a regular potential and higher-order Allen-Cahn equation with a logarithmic potential. Moreover, we study higher-order anisotropic models and higher-order generalized Cahn-Hilliard equations, which have applications in biology, image processing, etc. We also consider the hyperbolic relaxation of higher-order anisotropic Cahn-Hilliard equations. In the second part, we develop semi-implicit and implicit semi-discrete, as well as fully discrete, schemes for solving the nonlinear partial differential equation, which describes both the elastic and electrostatic effects in an idealized MEMS capacitor. We analyze theoretically the stability of these schemes and the convergence under certain assumptions. Furthermore, several numerical simulations illustrate and support the theoretical results.