Localisation en espace de la propriété de Feller avec application aux processus de type Lévy / Tristan Haugomat ; sous la direction de Mihai Gradinaru

Date :

Type : Livre / Book

Type : Thèse / Thesis

Langue / Language : français / French

Lévy, Processus de

Markov, Processus de

Gradinaru, Mihai (19..-....) (Directeur de thèse / thesis advisor)

Université de Rennes 1 (Organisme de soutenance / degree-grantor)

École doctorale Mathématiques et sciences et technologies de l'information et de la communication (Rennes) (Ecole doctorale associée à la thèse / doctoral school)

Université Bretagne Loire (Autre partenaire associé à la thèse / thesis associated third party)

Institut de recherche mathématique (Rennes) (Laboratoire associé à la thèse / thesis associated laboratory)

Résumé / Abstract : Dans cette thèse, nous donnons une localisation en espace de la théorie des processus de Feller. Un premier objectif est d’obtenir des résultats simples et précis sur la convergence de processus de Markov. Un second objectif est d’étudier le lien entre les notions de propriété de Feller, problème de martingales et topologie de Skorokhod. Dans un premier temps nous donnons une version localisée de la topologie de Skorokhod. Nous en étudions les notions de compacité et tension. Nous faisons le lien entre les topologies de Skorokhod localisée et non localisée, grâce à la notion de changement de temps. Dans un second temps, à l’aide de la topologie de Skorokhod localisée et du changement de temps, nous étudions les problèmes de martingales. Nous montrons pour des processus l’équivalence entre, d’une part, être solution d’un problème de martingales bien posé, d’autre part, vérifier une version localisée de la propriété de Feller, et enfin, être markovien et continu en loi par rapport à sa condition initiale. Nous caractérisons la convergence en loi pour les solutions de problèmes de martingale en terme de convergence des opérateurs associés et donnons un résultat similaire pour les approximations à temps discret. Pour finir, nous appliquons la théorie des processus localement fellerien à deux exemples. Nous l’appliquons d’abord au processus de type Lévy et obtenons des résultats de convergence pour des processus à temps discret et continu, notamment des méthodes de simulation et schémas d’Euler. Nous appliquons ensuite cette même théorie aux diffusions unidimensionnelles dans des potentiels, nous obtenons des résultats de convergence de diffusions ou marches aléatoires vers des diffusions singulières. Comme conséquences, nous déduisons la convergence de marches aléatoires en milieux aléatoires vers des diffusions en potentiels aléatoires.

Résumé / Abstract : In this PhD thesis, we give a space localisation for the theory of Feller processes. A first objective is to obtain simple and precise results on the convergence of Markov processes. A second objective is to study the link between the notions of Feller property, martingale problem and Skorokhod topology. First we give a localised version of the Skorokhod topology. We study the notions of compactness and tightness for this topology. We make the connexion between localised and unlocalised Skorokhod topologies, by using the notion of time change. In a second step, using the localised Skorokhod topology and the time change, we study martingale problems. We show the equivalence between, on the one hand, to be solution of a well-posed martingale problem, on the other hand, to satisfy a localised version of the Feller property, and finally, to be a Markov process weakly continuous with respect to the initial condition. We characterise the weak convergence for solutions of martingale problems in terms of convergence of associated operators and give a similar result for discrete time approximations. Finally, we apply the theory of locally Feller process to some examples. We first apply it to the Lévy-type processes and obtain convergence results for discrete and continuous time processes, including simulation methods and Euler’s schemes. We then apply the same theory to one-dimensional diffusions in a potential and we obtain convergence results of diffusions or random walks towards singular diffusions. As a consequences, we deduce the convergence of random walks in random environment towards diffusions in random potential.