Decomposability and stability of multidimensional persistence / Jérémy Cochoy ; sous la direction de Steve Oudot

Date :

Type : Livre / Book

Type : Thèse / Thesis

Langue / Language : anglais / English

Homologie

Modules (algèbre)

Analyse des données

Algèbre

Oudot, Steve (1979-...) (Directeur de thèse / thesis advisor)

Goubault, Éric (Président du jury de soutenance / praeses)

Landi, Claudia (Rapporteur de la thèse / thesis reporter)

Lazarus, Francis (19..-....) (Rapporteur de la thèse / thesis reporter)

Botnan, Magnus (Membre du jury / opponent)

Kerber, Michael (Membre du jury / opponent)

Université Paris-Saclay (2015-2019) (Organisme de soutenance / degree-grantor)

École doctorale Sciences et technologies de l'information et de la communication (Orsay, Essonne ; 2015-....) (Ecole doctorale associée à la thèse / doctoral school)

Université Paris-Sud (1970-2019) (Autre partenaire associé à la thèse / thesis associated third party)

Institut national de recherche en informatique et en automatique (France). Unité de recherche (Saclay, Ile-de-France) (Laboratoire associé à la thèse / thesis associated laboratory)

Datashape - Understanding the shape of data (Equipe de recherche associée à la thèse / thesis associated research team)

Résumé / Abstract : Dans un contexte où des quantités toujours plus colossales de données sont disponibles,extraire des informations significatives et non triviales devient toujours plus difficile. Afin d’améliorer la classification, régression, ou encore l’analyse exploratoire de données, l’approche fournie par l’analyse topologique de données (TDA) est de rechercher la présence de formes dans le jeu de données.Dans cette thèse nous étudions les propriétés des modules de persistance multidimensionnelle dans le but d’obtenir une meilleure compréhension des sommandes et décompositions de ces derniers. Nous introduisons un foncteur qui plonge la catégorie des représentations de carquois dont le graphe est un arbre enraciné dans la catégorie des modules de persistance indexé sur ℝ². Nous enrichissons la structure de module de persistance provenant de l’application du foncteur cohomologie à une filtration en une structure d’algèbre de persistance.Enfin, nous généralisons l’approche de Crawley Beovey à la multipersistance et identifions une classe de modules de persistance indexé sur ℝ² qui possède des descripteurs simples et analogues au théorème de décomposition existant en persistance1-dimensionnelle.

Résumé / Abstract : In a context where huge amounts of data are available, extracting meaningful and non trivial information is getting harder. In order to improve the tasks of classification, regression, or exploratory analysis, the approach provided by topological data analysisis to look for the presence of shapes in data set.In this thesis, we investigate the properties of multidimensional persistence modules in order to obtain a better understanding of the summands and decompositions of such modules. We introduce a functor that embeds the representations category of any quiver whose graph is a rooted tree into the category of ℝ²-indexed persistence modules. We also enrich the structure of persistence module arising from the cohomology of a filtration to a structure of persistence algebra.Finally, we generalize the approach of Crawley Beovey to multipersistence and identify a class of persistencemodules indexed on ℝ² which have simple descriptor and an analog of the decomposition theorem available in one dimensional persistence.