Inégalités de concentration pour des fonctions de variables aléatoires indépendantes / Antoine Marchina ; sous la direction de Emmanuel Rio

Date :

Type : Livre / Book

Type : Thèse / Thesis

Langue / Language : anglais / English

Catalogue Worldcat

Martingales (mathématiques)

Processus empiriques (mathématiques)

Fonctions de concentration

Inégalités (mathématiques)

Classification Dewey : 519.28

Rio, Emmanuel (19..-.... ; mathématicien) (Directeur de thèse / thesis advisor)

Bercu, Bernard (1965-....) (Président du jury de soutenance / praeses)

Baraud, Yannick (19..-....) (Rapporteur de la thèse / thesis reporter)

Adamczak, Radosław (Rapporteur de la thèse / thesis reporter)

Université Paris-Saclay (2015-2019) (Organisme de soutenance / degree-grantor)

École doctorale de mathématiques Hadamard (Orsay, Essonne ; 2015-....) (Ecole doctorale associée à la thèse / doctoral school)

Laboratoire de Mathématiques de Versailles (Laboratoire associé à la thèse / thesis associated laboratory)

Université de Versailles-Saint-Quentin-en-Yvelines (Autre partenaire associé à la thèse / thesis associated third party)

Résumé / Abstract : Cette thèse porte sur l'étude de la concentration autour de la moyenne de fonctions de variables aléatoires indépendantes à l'aide de techniques de martingales et d'inégalités de comparaison.Dans une première partie, nous prouvons des inégalités de comparaison pour des fonctions générales séparément convexes de variables aléatoires indépendantes non nécessairement bornées. Ces résultats sont établis à partir de nouvelles inégalités de comparaison dans des classes de fonctions convexes (contenant, en particulier, les fonctions exponentielles croissantes) pour des variables aléatoires réelles uniquement dominées stochastiquement.Dans la seconde partie, nous nous intéressons aux suprema de processus empiriques associés à des observations i.i.d. Le point clé de cette partie est un résultat d'échangeabilité des variables. Nous montrons d'abord des inégalités de type Fuk-Nagaev avec constantes explicites lorsque les fonctions de la classe ne sont pas bornées. Ensuite, nous prouvons de nouvelles inégalités de déviation avec une meilleure fonction de taux dans les bandes de grandes déviations dans le cas des classes de fonctions uniformément bornées. Nous donnons également des inégalités de comparaison de moments généralisés dans les cas uniformément borné et uniformément majoré. Enfin, les résultats de la première partie nous permettent d'obtenir une inégalité de concentration lorsque les fonctions de la classe ont une variance infinie.

Résumé / Abstract : This thesis deals with concentration properties around the mean of functions of independent random variables using martingale techniques and comparison inequalities.In the first part, we prove comparison inequalities for general separately convex functions of independent and non necessarily bounded random variables. These results are based on new comparison inequalities in convex classes of functions (including, in particular, the increasing exponential functions) for real-valued random variables which are only stochastically dominated.In the second part, we are interested in suprema of empirical processes associated to i.i.d. random variables. The key point of this part is a result of exchangeability of variables. We first give Fuk-Nagaev type inequalities with explicit constants when the functions of the considered class are unbounded. Next, we provide new deviation inequalities with an improved rate function in the large deviations bandwidth in the case of classes of uniformly bounded functions. We also provide generalized moment comparison inequalities in uniformly bounded and uniformly bounded from above cases. Finally, results from the first part allow us to prove a concentration inequality when the functions of the class have an infinite variance.