Développement asymptotique des sommes harmoniques / Văn Chiến Bùi ; sous la direction de Gérard Duchamp et de Vincel Hoang Ngoc Minh

Date :

Type : Livre / Book

Type : Thèse / Thesis

Langue / Language : français / French

Catalogue Worldcat

Maple -- logiciel

Développements asymptotiques

Hopf, Algèbres de

Fonctions zêta

Duchamp, Gérard (1951-....) (Directeur de thèse / thesis advisor)

Minh, Vincel Hoang Ngoc (Directeur de thèse / thesis advisor)

Barsky, Daniel (Président du jury de soutenance / praeses)

Cresson, Jacky (Rapporteur de la thèse / thesis reporter)

Foissy, Loïc (1975-....) (Rapporteur de la thèse / thesis reporter)

Paycha, Sylvie (1960-....) (Membre du jury / opponent)

Tollu, Christophe (Membre du jury / opponent)

Hoeven, Joris van der (mathématicien) (Membre du jury / opponent)

Université Sorbonne Paris Cité (Organisme de soutenance / degree-grantor)

École doctorale Galilée (Villetaneuse, Seine-Saint-Denis) (Ecole doctorale associée à la thèse / doctoral school)

Université Paris 13 (Autre partenaire associé à la thèse / thesis associated third party)

Résumé / Abstract : En abordant les nombres spéciaux comme les sommes harmoniques ou les polyzêtassous leur aspect combinatoire, nous introduisons d’abord la définition d’un produitentre mots, dit produit de quasi-mélange q-déformé, une généralisation des produits demélange et de quasi-mélange, ce qui nous permet de construire des structures complètesd’algèbre de Hopf en dualité. En même temps, nous construisons des bases en dualité,contenant des bases de transcendance associées aux mots de Lyndon, et des formules explicitessur lesquelles les sommes harmoniques, les polyzêtas ou les polylogarithmes sontindexés et représentés par la factorisation de la série génératrice noncommutative diagonale.De cette façon, nous déterminons des développements asymptotiques des sommesharmoniques, indexées par ces bases, grâce à leur série génératrice et à la formule d’EulerMaclaurin. Nous établissons également une équation de liaison sur les polyzêtas, quiapparaissent comme les parties finies des développements asymptotiques des sommesharmoniques et des polylogarithmes, reliant entre elles deux structures algébriques. Enidentifiant les coordonnées locales de cette équation, nous trouvons des relations polynomialeshomogènes, en poids, entre les polyzêtas. Pour accompagner cette étude théorique,nous proposons des algorithmes et un package en Maple afin de calculer des bases, lastructure des polyzêtas et des développements asymptotiques des sommes harmoniques.

Résumé / Abstract : Approaching special numbers as harmonic sums or polyzetas (multiple zetavalues) in the spirit of combinatorics, we first focus on the study of algebraic structureson words by introducing the definition of a product on words, called q-stuffle product, acommon generalisation of shuffle and quasi-shuffle products, which allows us to completelyconstruct Hopf algebras in duality. Simutaneously, we establish recurrent formulas inorder to compute bases in duality, containing transcendence bases tied to Lyndon wordson which harmonic sums, the polyzetas and polylogarithms are indexed. We use them torepresent the factorization of a diagonal noncommutative generating series. In this respect,we determine asymptotic expansions of harmonic sums thanks to their generatingseries and to Euler Maclaurin formula. We also establish a bridge equation of polyzetas,which appear as fini parts in asymptotic expansions of harmonic sums and of polylogarithms,linking two algebraic structures. Through identification of local coordinates of thisequation, we can deduce homogenous, in weight, polynomial relations among polyzetasindexed on the bases.We also give algorithms and a package in Maple which, in practice,allowed us to find results and examples within this thesis.