Geometrical and combinatorial generalizations of the associahedron / Thibault Manneville ; sous la direction de Gilles Schaeffer

Date :

Type : Livre / Book

Type : Thèse / Thesis

Langue / Language : anglais / English

Polyèdres

Algèbres amassées

Triangulation

Schaeffer, Gilles (Directeur de thèse / thesis advisor)

Hivert, Florent (Président du jury de soutenance / praeses)

Chapoton, Frédéric (Rapporteur de la thèse / thesis reporter)

Pilaud, Vincent (1984-....) (Membre du jury / opponent)

Hohlweg, Christophe (1976-....) (Membre du jury / opponent)

Morier-Genoud, Sophie (1979-....) (Membre du jury / opponent)

Pournin, Lionel (Membre du jury / opponent)

Santos Leal, Francisco (Membre du jury / opponent)

Université Paris-Saclay (2015-2019) (Organisme de soutenance / degree-grantor)

École doctorale Sciences et technologies de l'information et de la communication (Orsay, Essonne ; 2015-....) (Ecole doctorale associée à la thèse / doctoral school)

Laboratoire d'informatique de l'École polytechnique (Palaiseau, Essonne) (Laboratoire associé à la thèse / thesis associated laboratory)

École polytechnique (Palaiseau, Essonne) (Autre partenaire associé à la thèse / thesis associated third party)

Résumé / Abstract : L'associaèdre se situe à l'interface de plusieurs domaines mathématiques. Combinatoirement, il s'agit du complexe simplicial des dissections d'un polygone convexe (ensembles de diagonales ne se croisant pas deux à deux). Géométriquement, il s'agit d'un polytope dont les sommets et les arêtes encodent le graphe dual du complexe des dissections. Enfin l'associaèdre décrit la structure combinatoire qui définit la présentation par générateurs et relations de certaines algèbres, dites << amassées >>. Du fait de son omniprésence, de nouvelles familles généralisant cet objet sont régulièrement découvertes. Cependant elles n'ont souvent que de faibles interactions. Leurs études respectives présentent de notre point de vue deux enjeux majeurs : chercher à les relier en se basant sur les propriétés connues de l'associaèdre ; et chercher pour chacune des cadres combinatoire, géométrique et algébrique dans le même esprit.Dans cette thèse, nous traitons le lien entre combinatoire et géométrie pour certaines de ces généralisations : les associaèdres de graphes, les complexes de sous-mots et les complexes d'accordéons. Nous suivons un fil rouge consistant à adapter, à ces trois familles, une méthode de construction des associaèdres comme éventails (ensembles de cônes polyédraux), dite méthode des d-vecteurs et issue de la théorie des algèbres amassées. De manière plus large, notre problématique principale consiste à réaliser, c'est-à-dire plonger géométriquement dans un espace vectoriel, des complexes abstraits. Nous obtenons trois familles de nouvelles réalisations, ainsi qu'une quatrième encore conjecturale dont les premières instances constituent déjà des avancées significatives.Enfin, en sus des résultats géométriques, nous démontrons des propriétés combinatoires spécifiques à chaque complexe simplicial abordé.

Résumé / Abstract : The associahedron is at the interface between several mathematical fields. Combinatorially, it is the simplicial complex of dissections of a convex polygon (sets of mutually noncrossing diagonals). Geometrically, it is a polytope whose vertices and edges encode the dual graph of the complex of dissections. Finally the associahedron describes the combinatorial structure defining a presentation by generators and relations of certain algebras, called ``cluster algebras''. Because of its ubiquity, we regularly come up with new families generalizing this object. However there often are only few interactions between them. From our perspective, there are two main issues when studying them: looking for relations on the basis of known properties of the associahedron; and, for each, looking for combinatorial, geometric and algebraic frameworks in the same spirit.In this thesis, we deal with the link between combinatorics and geometry for some of these generalizations: graph associahedra, subword complexes and accordion complexes. We follow a guidelight consisting in adapting, to these three families, a method for constructing associahedra as fans (sets of polyhedral cones), called the d-vector method and coming from cluster algebra theory. More generally, our main concern is to realize, that is geometrically embed in a vector space, abstract complexes. We obtain three new families of generalizations, and a fourth conjectural one whose first instances already constitute significant advances.Finally in addition to the geometric results, we prove combinatorial properties specific to each encountered simplicial complex.