Intersection arithmétique et problème de Lehmer elliptique / Bruno Winckler ; sous la direction de Pascal Autissier et de Fabien Mehdi Pazuki

Date :

Type : Livre / Book

Type : Thèse / Thesis

Langue / Language : français / French

Catalogue Worldcat

Courbes elliptiques

Fonctions hauteurs canoniques

Problème de Lehmer

Multiplication complexe

Arakelov, Théorie d'

Intersections, Théorie des

Autissier, Pascal (1976-....) (Directeur de thèse / thesis advisor)

Pazuki, Fabien Mehdi (1980-....) (Directeur de thèse / thesis advisor)

Laurent, Michel (19..-.... ; mathématicien) (Président du jury de soutenance / praeses)

Habegger, Philipp (mathématicien) (Rapporteur de la thèse / thesis reporter)

Bilu, Yuri (1964-....) (Membre du jury / opponent)

Gaudron, Eric (1973-....) (Membre du jury / opponent)

Ramaré, Olivier (Membre du jury / opponent)

Rémond, Gaël (Membre du jury / opponent)

Université de Bordeaux (2014-....) (Organisme de soutenance / degree-grantor)

École doctorale de mathématiques et informatique (Talence, Gironde) (Ecole doctorale associée à la thèse / doctoral school)

Institut de mathématiques de Bordeaux (Laboratoire associé à la thèse / thesis associated laboratory)

Résumé / Abstract : Cette thèse étudie le problème de minoration de la hauteur canonique sur les courbeselliptiques. Son résultat diophantien principal utilise des méthodes d’intersectionarithmétique pour retrouver un résultat de Laurent, qui démontrait la conjecturede Lehmer pour les courbes elliptiques à multiplications complexes à un exposant" près, tout en explicitant complètement sa dépendance en divers paramètres liésà la courbe elliptique ; une telle démarche peut être motivée par la conjecture deLang, qui présage une minoration possible de la hauteur canonique proportionnelle,essentiellement, à la hauteur de Faltings de la courbe.Notre dissertation commence toutefois par une partie dédiée à l’explicitation duthéorème de densité de Chebotarev, qui reprend les grandes lignes d’un travail deLagarias et Odlyzko, et s’avère être cruciale dans notre approche du problème deLehmer elliptique. On obtient également des majorations des zéros de Siegel et de lanorme du plus petit idéal premier entrant en jeu dans le théorème de Chebotarev.

Résumé / Abstract : In this thesis we consider the problem of lower bounds for the canonical height onelliptic curves, aiming for the conjecture of Lehmer. Our main diophantine result isan explicit version of a theorem of Laurent (who proved this conjecture for ellipticcurves with CM up to a " exponent) using arithmetic intersection, enlightening thedependence with parameters linked to the elliptic curve ; such a result can be motivatedby the conjecture of Lang, hoping for a lower bound proportional to, roughly,the Faltings height of the curve.Nevertheless, our dissertation begins with a part dedicated to a completely explicitversion of the density theorem of Chebotarev, along the lines of a previous workdue to Lagarias and Odlyzko, which will be crucial to investigate the elliptic Lehmerproblem. We also obtain upper bounds for Siegel zeros, and for the smallest primeideal whose Frobenius is in a fixed conjugacy class.