Minimal sets, existence and regularity / Yangqin Fang ; sous la direction de Guy David

Date :

Type : Livre / Book

Type : Thèse / Thesis

Langue / Language : anglais / English

Plateau, Problème de

Hausdorff, Mesures de

David, Guy (1957-.... ; mathématicien) (Directeur de thèse / thesis advisor)

Pansu, Pierre (1959-....) (Président du jury de soutenance / praeses)

Rigot, Séverine (Rapporteur de la thèse / thesis reporter)

Santambrogio, Filippo (1980-....) (Membre du jury / opponent)

Lemenant, Antoine (1982-....) (Membre du jury / opponent)

Masnou, Simon (19..-.... ; mathématicien) (Membre du jury / opponent)

Université Paris-Sud (1970-2019) (Organisme de soutenance / degree-grantor)

Ecole doctorale Mathématiques de la région Paris-Sud (1992-2015 ; Orsay) (Ecole doctorale associée à la thèse / doctoral school)

Laboratoire de mathématiques d'Orsay (1998-....) (Laboratoire associé à la thèse / thesis associated laboratory)

Résumé / Abstract : Cette thèse s’intéresse principalement à l’existence et à la régularité desensembles minimaux. On commence par montrer, dans le chapitre 3, que le problème de Plateau étudié par Reifenberg admet au moins une solution. C’est-à-dire que, si l’onse donne un ensemble compact B⊂R^n et un sous-groupe L du groupe d’homologie de Čech H_(d-1) (B;G) de dimension (d-1) sur un groupe abelien G, on montre qu’il existe un ensemble compact E⊃B tel que L est contenu dans le noyau de l’homomorphisme H_(d-1) (B;G)→H_(d-1) (E;G) induit par l’application d’inclusion B→E, et pour lequel la mesure de Hausdorff H^d (E∖B) est minimale (sous ces contraintes). Ensuite, on montre au chapitre 4, que pour tout ensemble presque minimal glissant E de dimension 2, dans un domaine régulier Σ ressemblant localement à un demi espace, associé à la frontière glissante ∂Σ, et tel que E⊃∂Σ, il se trouve qu’à la frontière E est localement équivalent, par un homéomorphisme biHöldérien qui préserve la frontière, à un cône minimal glissant contenu dans un demi plan Ω, avec frontière glissante ∂Ω. De plus les seuls cônes minimaux possibles dans ce cas sont ∂Ω seul, ou son union avec un cône de type P_+ ou Y_+.

Résumé / Abstract : This thesis focuses on the existence and regularity of minimal sets. First we show, in Chapter 3, that there exists (at least) a minimizerfor Reifenberg Plateau problems. That is, Given a compact set B⊂R^n, and a subgroup L of the Čech homology group H_(d-1) (B;G) of dimension (d-1)over an abelian group G, we will show that there exists a compact set E⊃B such that L is contained in the kernel of the homomorphism H_(d-1) (B;G)→H_(d-1) (E;G) induced by the natural inclusion map B→E, and such that the Hausdorff measure H^d (E∖B) is minimal under these constraints. Next we will show, in Chapter 4, that if E is a sliding almost minimal set of dimension 2, in a smooth domain Σ that looks locally like a half space, and with sliding boundary , and if in addition E⊃∂Σ, then, near every point of the boundary ∂Σ, E is locally biHölder equivalent to a sliding minimal cone (in a half space Ω, and with sliding boundary ∂Ω). In addition the only possible sliding minimal cones in this case are ∂Ω or the union of ∂Ω with a cone of type P_+ or Y_+.