Automorphismes des variétés affines / Aleksandr Perepechko ; sous la direction de Mikhail Zaidenberg et de Ivan Arzhantsev

Date :

Type : Livre / Book

Type : Thèse / Thesis

Langue / Language : anglais / English

Catalogue Worldcat

Classification Dewey : 510

Zaidenberg, Mikhail (19..-....) (Directeur de thèse / thesis advisor)

Arzhantsev, Ivan (Directeur de thèse / thesis advisor)

Manivel, Laurent (19..-....) (Président du jury de soutenance / praeses)

Université de Grenoble (2009-2014) (Organisme de soutenance / degree-grantor)

Institut stran Azii i Afriki (Moskva) (Organisme de cotutelle / degree co-grantor)

École doctorale mathématiques, sciences et technologies de l'information, informatique (Grenoble) (Ecole doctorale associée à la thèse / doctoral school)

Institut Fourier (Grenoble) (Laboratoire associé à la thèse / thesis associated laboratory)

Résumé / Abstract : La thèse se compose de deux parties. La première partie est consacrée aux transformations des algèbres de dimension finie. Il est facile de voir que le groupe d'automorphismes d'une algèbre de dimension finie est un groupe algébrique affine. N.L. Gordeev et V.L. Popov ont démontré que n'importe quel groupe algébrique affine est isomorphe au groupe d'automorphismes de l'algèbre de dimension finie. Utilisant l'approche similaire nous démontrons que tout monoïde affine peut être obtenue comme un monoïde des endomorphismes d'une algèbre de dimension finie. Ensuite, nous étudions la solvabilité des groupes d'automorphismes d'algèbres commutatives de dimension finie. Nous introduisons un critère de leur solvabilité et l'appliquons aux intersections complètes et aux singularités isolées d'hypersurfaces. Nous étudions également les cas extrêmes du critère introduit. La deuxième partie de la thèse est consacrée à la transitivité infinie de groupes d'automorphismes spéciales de variétés affines et quasi-affines. Cette propriété est équivalente à la flexibilité pour les variétés affines. Tout d'abord, nous montrons l'équivalence entre la transitivité et la transitivité infinie des groupes d'automorphismes spéciaux sur un corps algébriquement clos de caractéristique arbitraire. Nous fournissons ensuite le critère de la flexibilité pour les cônes affines sur les variétés projectives et nous l'appliquons aux surfaces del Pezzo de degré 4 et 5. Enfin, nous étudions la flexibilité des torseurs universels sur les variétés couvertes par des espaces affines et fournissons une large gamme de familles de variétés flexibles.

Résumé / Abstract : The thesis consists of two parts. The first part is dedicated to transformations of finite-dimensional algebras. It is easy to see that the automorphism group of a finite-dimensional algebra is an affine algebraic group. N.L.~Gordeev and V.L.~Popov proved that any affine algebraic group is isomorphic to the automorphism group of some finite-dimensional algebra. We use a similar approach to prove that any affine algebraic monoid can be obtained as the endomorphisms' monoid of a finite-dimensional algebra. Next, we study the solvability of automorphism groups of commutative Artin algebras. We introduce a criterion of their solvability and apply it to complete intersections and to isolated hypersurface singularities. We also study extremal cases of the introduced criterion. The second part of the thesis is dedicated to the infinite transitivity of special automorphism groups of affine and quasiaffine varieties. This property is equivalent to the flexibility for affine varieties. Firstly, we prove the equivalence of transitivity and infinite transitivity of special automorphism groups over algebraically closed field of arbitrary characteristic. Then we provide the criterion of flexibility for affine cones over projective varieties and apply it to del Pezzo surfaces of degree 4 and 5. Finally, we study flexibility of universal torsors over varieties covered by affine spaces and provide a wide range of families of flexible varieties.