Semi-anneau de fusion des groupes quantiques / Colin Mrozinski ; sous la direction de Julien Bichon

Date :

Type : Livre / Book

Type : Thèse / Thesis

Langue / Language : français / French

Langue / Language : anglais / English

Catalogue Worldcat

Semi-anneaux (mathématiques)

Hopf, Algèbres de

Algèbres non commutatives

Groupes quantiques

Bichon, Julien (Directeur de thèse / thesis advisor)

Dumas, François (Président du jury de soutenance / praeses)

Bruguières, Alain (Rapporteur de la thèse / thesis reporter)

Banica, Teodor (Rapporteur de la thèse / thesis reporter)

Baaj, Saad (Membre du jury / opponent)

Ohn, Christian (1967-....) (Membre du jury / opponent)

Université Blaise Pascal (Clermont-Ferrand) (Organisme de soutenance / degree-grantor)

École doctorale des sciences fondamentales (Clermont-Ferrand) (Ecole doctorale associée à la thèse / doctoral school)

Laboratoire de mathématiques pures (Clermont-Ferrand) (Equipe de recherche associée à la thèse / thesis associated research team)

Résumé / Abstract : Cette thèse se propose d’étudier des problèmes de classification des groupes quantiques via des invariants issus de leur théorie de représentation. Plus précisément, nous classifions les algèbres de Hopf possédant un semi-anneau de fusion isomorphe à un groupe algébrique réductif donné G. De tels groupes quantiques sont alors appelés G-déformations. Dans cette thèse, nous étudions les cas GL(2) et SO(3). Nous donnons une classification complète des GL(2)-déformations en construisant une famille d’algèbres de Hopf indexées par des matrices inversibles. Nous décrivons leurs catégories de comodules et donnons certains résultats de classification quant à leurs objets de Hopf-Galois. Ensuite, nous donnons une classification des SO(3)-déformations compactes tout en étudiant le cas non-compact. Finalement, la dernière partie de la thèse est une étude de l’algèbre sous-jacente à une certaine famille d’algèbres de Hopf, dont nous exhibons une base. Cette base nous permet de calculer le centre des ces algèbres ainsi que quelques groupes de (co)homologie.

Résumé / Abstract : The purpose of this dissertation is to classify quantum groups according to invariants coming from their representation theory. More precisely, we classify Hopf algebras having a fusion semiring isomorphic to that of a given reductive algebraic group G. Such a quantum group is called a G-deformation. We study the case of GL(2) and SO(3). We give a complete classification of GL(2)-deformations by building a family of Hopf algebras parametrized by invertible matrices. We describe their comodule category and we give some classification results about the Hopf-Galois objects. We also classify compact SO(3)-deformations and we study the noncompact case. Finally, the last part of this dissertation is a study of the underlying algebra of some Hopf algebras, for which we exhibit a linear basis. This basis allows us to compute the centre and some (co)homology groups of those algebras.