Date : 1980
Type : Livre / Book
Type : Thèse / ThesisLangue / Language : français / French
Langue / Language : anglais / English
Homomorphismes (mathématiques)
Résumé / Abstract : La thèse se compose de quatre articles publiés et de trois courtes notes. Ces travaux se regroupent en deux thèmes. Le premier thème est l’étude de propriétés topologiques et algébriques de certains groupes de transformations. Le second thème est la construction de systèmes dynamiques dont toutes les orbites sont denses. Analyse détaillée des travaux sur le premier thème. 1° “Deformation of open embeddings of Q-manifolds”, en collaboration avec Y .M. Visetti, publié dans Transactions of the American Mathematical Society, vol. 224 (1976), p. 427-435. Cet article étudie les propriétés locales topologiques du groupe des homéomorphismes d’une variété modelée sur le cube de Hilbert Q = [0, 1]N. On y démontre en fait le principe le plus fort de déformation des plongements ouverts tel qu’il a été énoncé dans les travaux de Cernavskii, Edwards et Kirby.Ce principe est important par le nombre de conséquences qu’il admet, par exemple : extension des isotopies, contractibilité locale du groupe des homéomorphismes, toute submersion à fibres Q-variétés est un fibré localement trivial. 2° "Le groupe des transformations de [0, 1] qui préservent la mesure de Lebesgue est un groupe simple" , publié dans Israël Journal of Mathematics, vol. 29 (1978), p. 302-308. On montre que le groupe indiqué ci-dessus n’a pas de sous-groupe distingué non trivial. L’ingrédient principal est une nouvelle technique de répétition infinie qui sert aussi dans l’article suivant. 3° “Structure of the group of homeomorphisms preserving a good measure on a compact manifold", publié aux Annales Scientifiques de l’Ecole Normale Supérieure, vol. 13 (1980), p. 45-93. On considère une variété compacte Mⁿ et une mesure μ de probabilité sur Mⁿ sans atome et qui est strictement positive sur les ouverts non vides. Le but de cet article est l’étude des propriétés topologiques et algébriques de μ(Mn, μ) le groupe des homéomorphismes de M qui préservent la mesure μ. Dans une première partie, on étudie la structure topologique. On montre que ce groupe est localement contractible. Au passage, on démontre des théorèmes de prolongements de plongements préservant la mesure. Par exemple, on donne la condition nécessaire et suffisante pour prolonger une isotopie préservant μ définie au voisinage d’une sous-variété compacte de codimension zéro. La seconde partie commence par la généralisation du nombre de rotation d’un homéomorphisme du cercle. Cette généralisation s’inspire de la définition donnée par M. Herman. Plus précisément, à toute isotopie de Mⁿ, partant de l’identité et préservant μ, et à toute application de Mⁿ dans le cercle S¹, on associe un nombre qui décrit le déplacement algébrique de masse dans la direction donnée par le cercle pendant l’isotopie. On voit en fait que cette définition donne un homomorphisme du sous-groupe μ₀ (Mⁿ, μ) de μ(Mⁿ, μ) formé des homéomorphismes isotopes à l’identité dans un quotient de H₁(Mn, R) par un sous-groupe discret. Cet homomorphisme est en fait surjectif et le noyau est engendré par les homéomorphismes supportés par les petits ensembles. On montre ensuite que dans le cas où la dimension n est supérieure ou égale à 3, le noyau de cet homomorphisme est un groupe simple qui coïncide avec le sous-groupe engendré par les commutateurs de μ₀ (Mⁿ, μ). Le cas n = 2 échappe toujours aux méthodes de cet article. 4° "Sur l’homomorphisme de Calabi DiffC∞ (R², m) → R’’. Cette note représente le seul (et mince) résultat obtenu pour étudier le cas n = 2 de l’article précédent. On sait que le groupe des difféomorphismes à support compact de R² préservant la mesure de Lebesgue admet un homomorphisme surjectif dans R. […]