Date : 1969
Type : Livre / Book
Type : Thèse / ThesisLangue / Language : français / French
Résumé / Abstract : "Dans cette étude, chaque fois que nous parlerons d'erreur de troncature, nous sous-entendrons erreur relative, et les simulations seront faites essentiellement dans le cas de la base 10. Au chapitre I, nous définissons la troncature dans toute sa généralité, et donnons ses propriétés élémentaires, que nous utiliserons constamment par la suite sans le préciser. Après avoir défini l'erreur relative de troncature d'ordre [lambda), nous posons enfin les hypothèses fondamentales sur lesquelles repose toute cette étude, et dont la principale est la suivante : les nombres intervenant dans un processus sont supposés être extraits de la répartition uniforme sur R [nombre réel]. Cette hypothèse a été critiquée par certains auteurs, qui considèrent que c'est l'erreur absolue qui est uniformément répartie. Nous verrons en E1 que cela revient au même. Le chapitre II est consacré uniquement à l'étude de l'erreur relative de troncature sur un nombre. Après une étude statistique d'échantillons créés par simulation, nous faisons une étude théorique, dite approchée car elle repose sur des hypothèses supplémentaires aux H.F. Ces hypothèses supplémentaires sont inexactes en toute rigueur, mais se justifient lorsque l'ordre de la troncature est élevé. Les résultats obtenus sont excellents pour décrire les échantillons simulés. Nous présentons ensuite une étude théorique dite stricte, car elle ne repose que sur les H.F., et qui conduit à des résultats, inutilisables dans la pratique mais qui valident les résultats de l'étude approchée. Au paragraphe H, nous abordons l'étude d'une manière abstraite ce qui nous permet de dégager des résultats sur le comportement limite, en particulier : nous avons pu montrer l'existence d'une v.a.r. limite dont nous n'avons pu hélas trouver le type de loi, et nous avons précisé le mode de convergence. Au chapitre III, nous étudions l'influence de la troncature sur l'opération produit. L'étude de l'erreur de troncature sur la puissance de degré p d'un nombre conduisant à de nombreuses difficultés dues à des problèmes de dépendance, nous avons préféré commencer par étudier ce qui se passe dans le cas du produit de nombres indépendants. L'étude statistique d'échantillons simulés nous a guidé dans la recherche théorique, en mettant en évidence certains caractères auxquels on ne songerait pas en 1ère étude. Ainsi, de l'étude statistique, jaillissent les idées de convergence en loi, et de distribution gaussienne. Une première formulation de l'erreur permet de mieux suivre son mode de propagation. La construction d'un "espace de travail" et d'une famille de tribus "croissantes" permet de montrer le résultat fondamental suivant : si [lambda] est l'ordre de la troncature et p le degré du produit, alors l'erreur relative de troncature d'ordre [lambda] sur un produit de degré p se comporte en [lambda] comme une Sur-Martingale et se comporte en p comme une Sous-Martingale, ce qui permet de montrer la convergence presque sûre de l'erreur, soit en [lambda] soit en p. Nous transposons enfin ce qui a été fait dans le cas d'un produit au cas de la puissance, moyennant une théorie plus fine. Au chapitre IV, nous étudions l'influence de la troncature sur l'opération quotient. L'étude du quotient itéré de degré p ne semble pas intéressante. Elle nous permet toutefois de montrer l'importance de l'erreur de troncature dans le cas d'un quotient. L'étude de la loi de l'erreur relative sur l'inverse d'un nombre fait apparaître des difficultés nouvelles non encore résolues."