Involutions d'une algèbre de Clifford et isotropie des formes quadratiques et hermitiennes / par Seyed Mohammad Gholamzadeh Mahmoudi ; sous la direction d'Eva Bayer Fluckiger

Date :

Type : Livre / Book

Type : Thèse / Thesis

Langue / Language : français / French

Catalogue Worldcat

Hyperbole

Witt, Groupe de

Clifford, Algèbres de

Bayer Fluckiger, Eva (Directeur de thèse / thesis advisor)

Université de Franche-Comté. UFR des sciences et techniques (Autre partenaire associé à la thèse / thesis associated third party)

Université de Franche-Comté (Organisme de soutenance / degree-grantor)

Résumé / Abstract : Ce travail de thèse est consacré à l'étude de l'isotropie des formes quadratiques et des formes hermitiennes au moyen des objets algébriques que sont le groupe de Witt, le u-invariant et les algèbres à involution associées à ces formes. D'abord, nous obtenons divers critères, inspirés par des travaux de Bayer Fluckiger, Shapiro et Tignol, pour l'hyperbolicité d'une involution sur une algèbre simple centrale ou une algèbre de Clifford. Ensuite, nous étudions une suite exacte de groupes de Witt due à Parimala, Sridharan et Suresh. Nous décrivons le comportement des applications qui interviennent dans cette suite par rapport à l'isotropie des formes et nous inscrivons cette suite dans un octogone exact de groupes de Witt analogue à celui obtenu par Lewis pour une algèbre de quaternions. A l'aide de cet octogone, nous établissons des relations entre les cardinaux de certains groupes de Witt. Enfin, nous étudions la notion de u-invariant hermitien d'un corps gauche à involution qui généralise la notion classique de u-invariant introduite par Kaplansky. Nous obtenons quelques estimations du u-invariant d'un corps gauche à involution en fonction du u-invariant d'un sous-corps de ce corps stable par l'involution. Nous comparons le u-invariant d'un corps gauche et celui de son centre et fournissons quelques résultats sur les valeurs de cet invariant.

Résumé / Abstract : In this work we study the isotropy of quadratic and hermitian forms through the Witt group, the u-invariant and the algebras with involution associated to these forms. We obtain several criteria, inspired by the works of Bayer Fluckiger, Shapiro and Tignol, for hyperbolicity of particular involutions of a central simple algebra or a Clifford algebra. We study an exact sequence of Witt groups due to Parimala, Sridharan and Suresh, we determine the behavior of the maps involved in this sequence with respect to isotropy and we embed this sequence in an exact octagon similar to one obtained by Lewis for quaternion algebras.We use this exact octagon to obtain relations between the cardinality of certain Witt groups. We study the notion of hermitian u-invariant analogous to the classical notion of the u-invariant introduced by Kaplansky. We give some estimates of the u-invariant of a division algebra with involution in terms of the u-invariant of the substructures stable under involution by using systems of quadratic forms and exact sequences of Witt groups. We compare the u-invariant of a division algebra with involution and that of its center and we provide some results about the values of this invariant.