Centralisateurs et conjugaison différentiable des difféomorphismes du cercle... / Jean-Christophe Yoccoz ; [sous la direction de] M. Herman

Date :

Editeur / Publisher : [Lieu de publication inconnu] : [éditeur inconnu] , 1985

Type : Livre / Book

Type : Thèse / Thesis

Langue / Language : français / French

Dynamique différentiable

Difféomorphismes

Herman, Michael Robert (1942-2000 ; mathématicien) (Directeur de thèse / thesis advisor)

Douady, Adrien (1935-2006 ; mathématicien) (Président du jury de soutenance / praeses)

Chenciner, Alain (1943-.... ; mathématicien) (Membre du jury / opponent)

Laudenbach, François (1945-.... ; mathématicien) (Membre du jury / opponent)

Coates, John Henry (1945-2022 ; mathématicien) (Membre du jury / opponent)

Palis Júnior, Jacob (1940-2025) (Membre du jury / opponent)

Université Paris-Sud (1970-2019) (Organisme de soutenance / degree-grantor)

Université de Paris-Sud. Faculté des sciences d'Orsay (Essonne) (Autre partenaire associé à la thèse / thesis associated third party)

Relation : Centralisateurs et conjugaison différentiable des difféomorphismes du cercle / Jean-Christophe Yoccoz ; [sous la direction de] M. Herman / Orsay : Université Paris Sud , 1985

Résumé / Abstract : Ce travail poursuit celui de M. Herman sur les problèmes de petits dénominateurs dans les difféomorphismes du cercle. On y généralise le théorème de conjugaison d’Herman, sous une hypothèse arithmétique sur le nombre de rotation qui est optimale en Classe C∞. On démontre que les difféomorphismes C∞-conjugués à une rotation sont denses parmi ceux qui ont un nombre de rotation irrationnel donné. On s’intéresse ensuite principalement aux centralisateurs dans le groupe des difféomorphismes du cercle : en présence d’orbites périodiques, les centralisateurs sont explicitement identifiables (grâce à une idée de J. Mather) ; par contre, lorsque le nombre de rotation est irrationnel, la situation est extrêmement complexe et reflète les propriétés arithmétiques du nombre de rotation : le centralisateur peut être un groupe discret, ou totalement discontinu non discret, ou encore isomorphe à S¹.

Résumé / Abstract : Following M. Herman, we study in this work the problem of small divisors for circle diffeomorphisms. We generalize Herman’s conjugacy theorem, under an arithmetical assumption on the rotation number which is optimal for C∞-diffeomorphisms. We prove that the diffeomorphisms smoothly conjugated to a rotation are dense amongst those which have a fixed irrational rotation number. In the rest of the work, we are mainly interested in describing the centralizer of a diffeomorphism of the circle: when the rotation number is rational, one has a good understanding of the centralizer; but when the rotation number is irrational, the situation is extremely complex and very sensitive to the arithmetical properties of the rotation number: the centralizer can be either discrete, or a circle, or a non-discrete totally discontinuous group.