Date : 2020
Type : Livre / Book
Type : Thèse / ThesisLangue / Language : français / French
Classification Dewey : 515.9
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Résumé / Abstract : Pour β > 0, on définit l'espace de Bloch pondéré B^β comme l'espace des fonctions f analytiques sur le disque unité ouvert D telles que sup_D (1 − |z|^2)^β|f'(z)| < +∞. z∈D B^β_0 est le sous-espace fermé de B^β formé des fonctions analytiques f sur D telles que lim (1 − |z|^2)^β|f'(z)| = 0. |z|→1− Pour β = 1, on retrouve les espaces de Bloch classiques B et B_0. Dans ce mémoire, nous étudions les opérateurs de composition sur les espaces de Bloch pondérés. On appelle symbole toute application holomorphe ϕ : D −→ D, l'opérateur de composition associé à ϕ est l'opérateur Cϕ : f −→ f ◦ϕ, où f est une fonction analytique sur D. Plus précisément, nous donnons une caractérisation des opérateurs de composition p-sommants sur B^β et B^β_0. Pour le cas p = 1 il se trouve que les opérateurs de composition 1-sommants sur B^β sont les opérateurs nucléaires sur B^β. Ces résultats sont la continuité de nombreux travaux sur les opérateurs de composition sur B^β, concernant leur bornitude et leur compacité. Nous explicitons aussi un exemple de symbole qui admet un point de contact avec le cercle unité T et induit un opérateur de composition nucléaire sur B^β. En plus, nous construisons des exemples de symboles qui induisent des opérateurs de composition compacts sur B mais qui ne sont p-sommants pour aucun p ≥ 1. Nous étudions enfin les opérateurs de composition à poids, u.Cϕ(f) = u(f ◦ ϕ), où u : D −→ C est une fonction analytique fixée, sur les espaces de Bloch pondérés. Notre but est de généraliser les résultats trouvés sur les opérateurs de composition. Pour le cas p = 1, le travail est bien adapté et une caractérisation des opérateurs de composition à poids 1-sommants (nucléaires) est donnée. Pour le cas p > 1, le calcul est plus délicat. Nous présentons une condition nécessaire et une condition suffisante malheureusement légèrement différentes, sauf pour une certaine catégorie de poids.
Résumé / Abstract : Let β > 0, we define the Bloch-type space B^β as the space of analytic functionsf on the open unit disc D such that sup (1 − |z|^2)^β|f'(z)| < +∞. z∈D B^β_0 is the closed subspace of B^β consisting of analytic functions f on D such that lim (1 − |z|^2)^β|f'(z)| = 0. |z|→1−When β = 1, we recover the classical Bloch spaces B and B_0. In this thesis we study the composition operators on Bloch-type spaces. A symbol is in analytic function ϕ : D −→ D, the composition operator associated to ϕ is the map Cϕ : f −→ f ◦ ϕ, where f is an analytic funtion on D.More precisely, we give a characterization for composition operators to be p-summing on B^β and B^β_0. For the case p = 1 it happens that 1-summing composition operators on B^β are the nuclear operators on B^β. These results are the continuity of various works on composition operators on B^β, concerning their boundedness and compactness.We explicit an example of a symbol that touches the unit circle T and induces a nuclear composition operator on B^β. We also construct examples of symbols that induce compact composition operators on B that fail to be p-summing for any p ≥ 1. At last, we study weighted composition operators, u.Cϕ(f) = u(f ◦ ϕ), where u : D −→ C is a fixed analytic function, on Bloch-type spaces. Our goal is togeneralize the results we have for composition operators. For the case p = 1, the work is easily adapted and a characterization of 1-summing (nuclear) weighted composition operators is giving. For the case p > 1, the calculation is more delicate. We present a necessary condition and a sufficient one that are unfortunately slightly different, except for a certain category of weights.