Contribution autour de la Fonction Distance Directionnelle et certaines de ses Applications au Développement et au Bien-être / Mohamed Ayman Ait el mekki ; sous la direction de Walter Briec et de Audrey Dumas

Résumé / Abstract : Cette thèse se compose de trois chapitres relatifs à la fonction de distance directionnelle et à ses applications au développement durable et à la théorie du bien-être. Le premier propose un modèle de développement durable de production agricole. Il est montré que l’on peut caractériser le processus de production inter-temporel de manière globale à partir d’une forme spécifique de la fonction de distance directionnelle. A partir de là un modèle de programmationlinéaire est élaboré afin de mesurer l’expansion maximale de l’output récolte ainsi que celle du capital sol. Le chapitre 2 se focalise sur la relation existant entre la fonction de distance directionnelle et la direction choisie. Suite aux travaux de Luenberger et Chambers, Chung et Färe ont transposé en théorie de la production la notion de fonction de bénéfice. Ce chapitre étudie plus spécifiquement l’optimisation de la fonction de distance directionnelle relativement à sa direction du point de vue des efficacités techniques et allocatives. Il est montré qu’elle est quasi-concave et semi-continuesupérieurement. Dans le cas individuel, une relation avec la notion de distance normée est établie. Le problème de la minimisation de la somme des efficacités allocatives d’un groupe de firmes est ensuite étudié. Des conditions nécessaires et suffisantes d’optimalité sont établies. Le chapitre 3 introduit une fonction de distance directionelle déprivative mesurant le bien-être social. Ce chapitre montre que cette fonction a une interprétation simple et qu’elle est fortement liée à la fonction de bien-être social de Rawls. Il est établi qu’elle induit une relation transitive complète entre les profils des individus. Une version agrégée est proposée qui satisfait une hypothèse de monotonicité forte caractérisant les allocations Pareto efficaces. Sous une hypothèse de convexité il est prouvé que la fonction distance directionnelle déprivative est duale de la fonction de bien-être social utilitarienne. Dans le cas non-convexe une relation de dualité spécifique est établie avec la fonction de bien-être de Rawls. Finalement une classe de fonctions distances plus générale est introduite qui apparait être étroitement reliée à une large classe de fonctions de bien-être social très utilisée en théorie des inégalités.

Résumé / Abstract : This thesis proposes several applications of the concept of directional distance function to sustainable development and welfare issues. Chapter 1 introduces a model a sustainable agricultural production system. It is shown how to characterize the overall production process using a suitable distance function. Along this line, a linear programming model is elaborated to measure the maximum expansion of the crop-output matrix and the terminal soil-capital vector. Chapter 2 focusses on the relation existing between the directional distance function and the choice of some direction.More specially, this chapter analyzes the problem of minimizing the sum of the allocative efficiency of a group of firms with respect to the direction g. To do that, it is shown that the directional distance function is quasi-concave and upper-semicontinuous. A connection tothe notion of normed distance function is also established. Chapter 3 introduces a directional deprivative distance function that looks for measuring welfare issues and enjoys some interesting properties. The paper shows that this directional deprivative distance function has a simple geometric interpretation and is intimately linked to the Rawls welfare function. It is shown that it involves a complete transitive relation on the profiles of the individuals. An aggregate version is introduced that satisfies a strong monotonicity assumption and characterizes Pareto efficient allocations. Under a convexity assumption, it is also shown the directional deprivative distance function is primal to the weighted utilitarian welfare function. If convexity does not hold true, it is shown that the Rawls welfare function is dual (in a certain sense) to the deprivative directional distance function. Finally a more general class of distance function is introduced that is shown to be closely related to a large class of welfare functional widely used in inequality theory.