Estimations géométriques de fonctionnelles spectrales pour le laplacien avec condition de Robin au bord / Salam Kouzayha ; sous la direction de Emmanuel Humbert et de Saïd Ilias et de Ahmad El Soufi

Résumé / Abstract : Le but de cette thèse est double : Donner des estimations pour les valeurs propres du laplacien sur un domaine borné d'une variété riemannienne avec la condition de Robin au bord. Nos premières estimations constituent une extension de la célèbre inégalité de Kröger sur les valeurs propres du laplacien euclidien avec condition de Neumann au bord, au cas plus gé- néral d'une variété riemannienne avec la condition de Robin au bord. De plus, ces estimations sont en accord avec la loi asymptotique de Weyl en ce qui concerne la dépendance en l'ordre de la valeur propre. Un deuxième type d'estimations géométriques pour les valeurs propres de Robin est obtenu dans le cas où la courbure de Ricci de la variété considérée est minorée. En utilisant la définition des valeurs propres par la formule de min-max, on est capable de les majorer en fonction de la dimension de la variété, du minorant de la courbure de Ricci, du volume du domaine et de son bord, et enfin de l'intégrale de la fonction de Robin sur le bord du domaine. Etudier le spectre du laplacien pondéré par la présence de deux densités sur un domaine borné d'une variété riemannienne avec les conditions de Neumann au bord dans le cas où l'une des densité est une puissance positive de l'autre. On démontre l'existence d'une valeur critique pour cette puissance : si la puissance est plus petite que cette valeur critique, la valeur propre correspondante est majorée. Cependant, si la puissance dépasse cette valeur, on démontre l'existence des domaines ayant une première valeur propre aussi grande que l'on veut.

Résumé / Abstract : The aim of my thesis is to give some estimations for the eigenvalues of the Laplacian with Robin boundary conditions the principal results are divided in two categories. The first result is based on an algebric method and give an estimation of the eigenvalues in euclidean spaces and homogeneous manifolds. The second result is an estimation of the egenvalues in terms of the Ricci curvature of the manifold.