Équations d'isomonodromie, solutions algébriques et dynamique / Arnaud Girand ; sous la direction de Serge Cantat et de Frank Loray

Date :

Type : Livre / Book

Type : Thèse / Thesis

Langue / Language : anglais / English

Équations différentielles

Déformations isomonodromiques, Méthode des

Géométrie analytique

Cantat, Serge (1972-....) (Directeur de thèse / thesis advisor)

Loray, Frank (1965-....) (Directeur de thèse / thesis advisor)

Université de Rennes 1 (1969-2022) (Organisme de soutenance / degree-grantor)

École doctorale Mathématiques, télécommunications, informatique, signal, systèmes, électronique (Rennes) (Ecole doctorale associée à la thèse / doctoral school)

Université Bretagne Loire (2016-2019) (Autre partenaire associé à la thèse / thesis associated third party)

Institut de recherche mathématique (Rennes ; 1996-....) (Laboratoire associé à la thèse / thesis associated laboratory)

Résumé / Abstract : Une déformation isomonodromique d'une sphère épointée est une famille de connexions logarithmiques plates sur cette dernière ayant toutes, à conjugaison globale près, la même représentation de monodromie. Ces objets sont paramétrés par les solutions d'une certaine famille d'équations aux dérivées partielles, les systèmes de Garnier, qui sont équivalents dans le cas de la sphère à quatre trous aux équations de Painlevé VI. L'objet des travaux présentés ici est de construire de nouvelles solutions algébriques des ces systèmes dans le cas de la sphère à cinq trous. Dans une première partie, nous classifions les déformations isomonodromiques algébriques obtenues par restriction aux droites d'une connexion logarithmique plate sur le plan projectif complexe dont le lieu polaire est une courbe quintique. On obtient ainsi deux nouvelles familles de solutions algébriques du système de Garnier associé. Dans une deuxième partie, nous exploitons le fait qu'une déformation isomonodromique algébrique correspond à une orbite finie sous l'action du groupe modulaire sur la variété des caractères de la sphère à cinq trous pour obtenir de nouveaux exemples de telles orbites. Nous employons pour ce faire la convolution intermédiaire sur les représentations de groupes libres développée par Katz Enfin, nous décrivons une généralisation partielle de ce procédé au cas d'un tore complexe à deux trous.

Résumé / Abstract : We call isomonodromic deformation any family of logarithmic flat connections over a punctured sphere having the same monodromy representation up to global conjugacy. These objects are parametrised by the solutions of a particular family of partial differential equations called Garnier systems, which are equivalent to the Painlevé VI equations in the four punctured case. The purpose of this thesis is to construct new algebraic solutions of these systems in the five punctured case. First, we give a classification of algebraic isomonodromic deformations obtained by restricting to lines some logarithmic flat connection over the complex projective plane whose singular locus is a quintic curve. We obtain two new families of algebraic solutions of the associated Garnier system. In a second part, we use the fact that any algebraic isomonodromic deformation corresponds to a finite orbit under the mapping class group action on the character variety of the five punctured sphere to obtain new examples of such orbits. We do this by using Katz's middle convolution on representations of free groups. Finally, we give a partial generalisation of this procedure in the case of a twice punctured complex torus.