Modélisation mathématique et numérique de systèmes multicouches avec transport de sédiments pour les problèmes à surface libre / Saida Sari ; sous la direction de Fayssal Benkhaldoun

Résumé / Abstract : L'objectif de ce travail est de fournir un outil de simulation efficace pour les problèmes d'écoulements à surface libre avec transport de sédiments et variation de densité. Des modèles mathématiques et des méthodes numériques répondant à cet objectif sont ainsi dérivés, analysés, puis implémentés. Dans une première partie, nous traitons des problèmes de transport de sédiments en eaux peu profondes à l'aide d'un solveur de Riemann non homogène (SRNH). Dans le cas monodimensionnel, nous avons utilisé une technique de limitation de flux et dans le cas bidimensionnel, le schéma est utilisé sur des maillages non structurés. Affin d'assurer la C-propriété du schéma numérique tout en gardant la précision en espace, nous utilisons une méthode dédiée pour le traitement de la bathymétrie. L'algorithme obtenu préserve numériquement la positivité de la hauteur d'eau et un principe de maximum sur la concentration du sédiment. Les résultats obtenus démontrent la grande précision du schéma et la capacité de cette méthode à simuler la dynamique des sédiments en suspension et de leur transport par l'écoulement. Le traitement des phénomènes de transport de sédiments inclut en particulier la résolution d'une équation d'évolution de la bathymétrie basée sur la vitesse d'écoulement au fond. Le modèle standard monocouche de Saint Venant n'est pas toujours suffisant pour rendre compte correctement de cette vitesse. De même que ce modèle ne peut simuler des problèmes classiques de recirculation. Nous optons donc, dans un deuxième temps, pour l'utilisation de modèles multicouches ou stratifiés. Pour des raisons spécifiques (problème d'hyperbolicité, grande taille du système...), on ne peut avoir recours aux schémas basés sur les solveurs de Riemann. Nous avons donc développé un schéma hybride caractéristique-volumes finis (FVC). Des comparaisons analytiques ou numériques des équations de Navier-Stokes démontrent la pertinence à la fois du modèle multicouche et du schéma FVC, puisque nous avons obtenus des solutions comparables pour des temps de calculs très réduits. Dans un troisième temps, nous présentons une extension bidimensionnelle du schéma FVC sur maillages structurés. Ce travail est en cours de généralisation pour des maillages plus généraux. Une partie des codes implémentés a pu être intégrée à une plateforme orientée objet (ADAPT) en cours de développement au LAGA pour la simulation numérique adaptative de phénomènes de propagation de fronts.