Date : 2014
Type : Livre / Book
Type : Thèse / ThesisLangue / Language : français / French
Langue / Language : anglais / English
Équations de réaction-diffusion
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Résumé / Abstract : Cette thèse est consacrée à l'étude de phénomènes de propagation dans des modèles d’EDP venant de la biologie. On étudie des équations cinétiques inspirées par le déplacement de colonies de bactéries ainsi que des équations de réaction-diffusion importantes en écologie afin de reproduire plusieurs phénomènes de dynamique et d'évolution des populations. La première partie étudie des phénomènes de propagation pour des équations cinétiques. Nous étudions l'existence et la stabilité d'ondes progressives pour des modèles ou la dispersion est donnée par un opérateur hyperbolique et non par une diffusion. Cela fait entrer en jeu un ensemble de vitesses admissibles, et selon cet ensemble, divers résultats sont obtenus. Dans le cas d'un ensemble de vitesses borné, nous construisons des fronts qui se propagent à une vitesse déterminée par une relation de dispersion. Dans le cas d'un ensemble de vitesses non borné, on prouve un phénomène de propagation accélérée dont on précise la loi d'échelle. On adapte ensuite à des équations cinétiques une méthode basée sur les équations de Hamilton-Jacobi pour décrire des phénomènes de propagation. On montre alors comment déterminer un Hamiltonien effectif à partir de l'équation cinétique initiale, et prouvons des théorèmes de convergence.La seconde partie concerne l'étude de modèles de populations structurées en espace et en phénotype. Ces modèles sont importants pour comprendre l'interaction entre invasion et évolution. On y construit d'abord des ondes progressives que l'on étudie qualitativement pour montrer l'impact de la variabilité phénotypique sur la vitesse et la distribution des phénotypes à l'avant du front. On met aussi en place le formalisme Hamilton-Jacobi pour l'étude de la propagation dans ces équations de réaction-diffusion non locales.Deux annexes complètent le travail, l'une étant un travail en cours sur la dispersion cinétique en domaine non-borné, l'autre étant plus numérique et illustre l’introduction.
Résumé / Abstract : This thesis is devoted to the study of propagation phenomena in PDE models arising from biology. We study kinetic equations coming from the modeling of the movement of colonies of bacteria, but also reaction-diffusion equations which are of great interest in ecology to reproduce several features of dynamics and evolution of populations. The first part studies propagation phenomena for kinetic equations. We study existence and stability of travelling wave solutions for models where the dispersal part is given by an hyperbolic operator rather than by a diffusion. A set of admissible velocities comes into the game and we obtain various types of results depending on this set. In the case of a bounded set of velocities, we construct travelling fronts that propagate according to a speed given by a dispersion relation. When the velocity set is unbounded, we prove an accelerating propagation phenomena, for which we give the spreading rate. Then, we adapt to kinetic equations the Hamilton-Jacobi approach to front propagation. We show how to derive an effective Hamiltonian from the original kinetic equation, and prove some convergence results.The second part is devoted to studying models for populations structured by space and phenotypical trait. These models are important to understand interactions between invasion and evolution. We first construct travelling waves that we study qualitatively to show the influence of the genetical variability on the speed and the distribution of phenotypes at the edge of the front. We also perform the Hamilton-Jacobi approach for these non-local reaction-diffusion equations.Two appendices complete this work, one deals with the study of kinetic dispersal in unbounded domains, the other one being numerical aspects of competition models.