Numerical study of non-linear dispersive partial differential equations / Kristelle Roidot ; sous la direction de Christian Klein

Date :

Type : Livre / Book

Type : Thèse / Thesis

Langue / Language : anglais / English

Analyse numérique

Équations aux dérivées partielles

Équations dispersives non linéaires

Classification Dewey : 519

Klein, Christian (19..-.... ; mathématicien) (Directeur de thèse / thesis advisor)

Université de Bourgogne (1970-....) (Organisme de soutenance / degree-grantor)

École doctorale Carnot (Dijon ; .....-2012) (Ecole doctorale associée à la thèse / doctoral school)

Institut de Mathématiques de Bourgogne (IMB) (Dijon) (Laboratoire associé à la thèse / thesis associated laboratory)

Relation : Numerical study of non-linear dispersive partial differential equations / par Kristelle Roidot ; sous la direction de Klein Christian / [S.l.] : [s.n.] , 2011

Résumé / Abstract : L'analyse numérique se développe en un outil puissant dans l'étude des équations aux dérivées partielles (EDPs), permettant d'illustrer des théorèmes existants et de trouver des conjectures. En utilisant des techniques sophistiquées, des questions apparaissant inaccessibles avant, comme des oscillations rapides ou un blow-up des solutions, peuvent être étudiées. Des oscillations rapides dans les solutions sont observées dans des EDPs dispersives sans dissipation où les solutions des EDPs correspondantes sans dispersion ont des chocs. Pour résoudre numériquement ces oscillations, l'application de méthodes efficaces introduisant peu de dissipation numérique artificielle est impérative, en particulier pour l'étude d'EDPs en plusieurs dimensions. Comme les EDPs étudiées dans ce contexte sont typiquement raides, l'intégration efficace dans le temps représente le principal problème. Une analyse des intégrants exponentiels et symplectiques a permi de déterminer les méthodes les plus efficaces pour chaque EDP étudiée. L'apprentissage et l'utilisation de techniques de parallélisation de codes numériques permet de nos jours de grandes avancées, plus précisément dans ce travail d'étudier numériquement la stabilité des solutions et l'apparition de blow-up dans l'équation de Davey-Stewartson.

Résumé / Abstract : Numerical analysis becomes a powerful resource in the study of partial differential equations (PDEs), allowing to illustrate existing theorems and find conjectures. By using sophisticated methods, questions which seem inaccessible before, like rapid oscillations or blow-up of solutions can be addressed in an approached way. Rapid oscillations in solutions are observed in dispersive PDEs without dissipation where solutions of the corresponding PDEs without dispersion present shocks. To solve numerically these oscillations, the use of efficient methods without using artificial numerical dissipation is necessary, in particular in the study of PDEs in some dimensions, done in this work. As studied PDEs in this context are typically stiff, efficient integration in time is the main problem. An analysis of exponential and symplectic integrators allowed to select and find the more efficient method for each PDE studied. The use of parallel computing permitted to address numerically questions of stability and blow-up in the Davey-Stewartson equation, in both stiff and non-stiff regimes.