Date : 2011
Editeur / Publisher : [S.l.] : [s.n.] , 2011
Type : Livre / Book
Type : Thèse / ThesisLangue / Language : français / French
Résumé / Abstract : Ce travail est consacré à l'étude et à l'application de formules de quadrature basées sur des quasi-interpolants splines discrets. En effet, nous avons étudié, analysé et construit de nouvelles formules de quadrature basées sur ces opérateurs. Ensuite, nous avons appliqué ces formules à la résolution numérique de l'équation intégrale de Fredholm de seconde espèce via la méthode de Nyström. Dans le but d'améliorer l'ordre de convergence de cette méthode, nous avons introduit une nouvelle méthode dite méthode de Nyström superconvergente. Celle-ci est basée sur des quasi-interpolants et l'ordre de convergence de sa version itérée est le double de celui de la méthode de Nyström. Nous étendons la méthode de Nyström au cas où le noyau de l'équation intégrale de Fredholm présente des singularités logarithmiques ou algébriques. Ainsi, nous résolvons cette équation à l'aide d'une méthode d'intégration produit basée sur des quasi-interpolants et nous résolvons aussi le problème de valeurs propres associé à l'aide d'un changement de variables. Nous traitons également dans cette thèse un des problèmes de base de la modélisation géométrique : l'ajustement d'une courbe à une suite de points de Rd à l'aide de quasi-interpolants splines. Finalement, nous construisons des formules de quadrature en dimension deux basées sur des quasi-interpolants splines définis dans l'espace des splines quadratiques sur une triangulation de Powell-Sabin d'un domaine polygonal de R².
Résumé / Abstract : We are concerned with studying and applying quadrature formulas based on discrete spline quasi-interpolants. Indeed, we have studied, analyzed and constructed new quadrature formulas based on these operators. Then, we applied these formulas to the numerical solution of Fredholm integral equations of the second kind by Nyström method. In order to improve the convergence of this method, we introduced a new method called a superconvergent Nyström method. This latter method is based on quasi-interpolants and the convergence order of its iterated version is twice that of the Nyström method. We extend the Nyström method to the case when the kernel function in the Fredholm integral equation has algebraic or logarithmic singularities. Thus, we solve this equation using a product integration method based on quasi-interpolants and we also solve the associated eigenvalue problem with the help of a change of variables. We also discuss in this thesis one of the most basic problems in geometric modelling : to fit a smooth curve through a sequence of points in Rd, by using quasi-interpolating splines. Finally, we generate and study new cubature formulas based on spline quasi-interpolants in the space of quadratic Powell-Sabin splines on nonuniform triangulations of a polygonal domain in R².