Méthodes asymptotiques pour les équations de type helmholtz ou navier-stokes / Aurélien Klak ; [sous la dir. de] François Castella, Christophe Cheverry

Date :

Editeur / Publisher : [S.l.] : [s.n.] , 2011

Type : Livre / Book

Type : Thèse / Thesis

Langue / Language : anglais / English

Langue / Language : français / French

Navier-Stokes, Équations de

Oscillations

WKB, Approximation

Helmholtz, Équation d'

Analyse semiclassique

Castella, François (1971-....) (Directeur de thèse / thesis advisor)

Cheverry, Christophe (1968-....) (Directeur de thèse / thesis advisor)

Université de Rennes 1 (1969-2022) (Organisme de soutenance / degree-grantor)

Université européenne de Bretagne (2007-2016) (Autre partenaire associé à la thèse / thesis associated third party)

École doctorale Mathématiques, télécommunications, informatique, signal, systèmes, électronique (Rennes) (Ecole doctorale associée à la thèse / doctoral school)

Relation : Méthodes asymptotiques pour les équations de type helmholtz ou navier-stokes / Aurélien Klak / Villeurbanne : [CCSD] , 2011

Relation : Méthodes asymptotiques pour les équations de type helmholtz ou navier-stokes / Aurélien Klak ; [sous la direction de] François Castella, Christophe Cheverry / Lille : Atelier national de reproduction des thèses , 2011

Résumé / Abstract : Dans cette thèse, nous étudions deux problèmes différentiels dépendant d’un paramètre " et étudions l’asymptotique des solutions lorsque ce paramêtre tend vers 0. Le premier problème est lié à l’équation de Helmholtz haute-fréquence. On construit un potentiel non-captif ne satisfaisant pas l’hypothèse de refocalisation des rayons introduites par F. Castella. On montre que l’ensemble des trajectoires hamiltoniennes (associées au potentiel construit) issues de l’origine et qui reviennent en 0 forment une sous-variété de dimension d - 1 (le cas limite). On montre alors que la solution de l’équation d’Helmholtz converge vers une perturbation de la solution d’helmholtz avec condition de radiation à l’infini et coefficients figés en 0. Dans un second temps, nous étudions une équation de Navier-Stokes forcées par une source polarisée fortement oscillante. On exhibe une famille de solutions exactes. On étudie alors la stabilité de cette famille lorsqu’on la perturbe à l’instant initiale. On construit une solution approchée du problème. On doit en particulier comprendre les interactions d’ondes se propageant à des échelles différentes. Ensuite, on justifie la convergence de la solution approchée vers la solution exacte à l’aide de méthodes d’énergie.

Résumé / Abstract : In this thesis, we study two differential problem which depend on a small parameter ". We study the asymptotic of the solutions when " goes to 0. The first problem deals with the high-frequency Helmholtz equation.We construct a non-trapping potential which does not satisfy the refocusing condition introduced by F. Castella. We prove that the Hamiltonian trajectories (associated with this built potential) issued from 0 which go back to the origin form a submanifold of dimension d - 1 (the limiting case). We show that the solution converges to a perturbation of the out-going solution with coefficient frozen in 0. 1 Then we study a Navier-Stokes type equation forced by a polarised and oscillating source. We exhibit a family of exact solutions to the problem. We perturb it at initial time. We construct an approximated solution of this problem. In particular, we have to understand the waves interactions which appear. Finally, we justify the convergence of the approximated solution to the exact solution performing some energy method.