Date : 2010
Editeur / Publisher : [S.l.] : [s.n.] , 2010
Type : Livre / Book
Type : Thèse / ThesisLangue / Language : français / French
Résumé / Abstract : Dans cette thèse, nous estimons de façon non paramétrique les paramètres ou la densité (et ses dérivées) d'un processus de diffusion /left((X_{t}/right)_{t\gep0} uni ou multi-dimensionnel satisfaisant l'équation différentielle stochastique : dX_{t}=b(X_{t})dt +\sigma(X_{t})dW_{t}. Le processus \left(X_{t}\right)_{t\geq0} est supposé strictement stationnaire et \béta-mélangeant. Il est observé à haute fréquence, de manière bruitée ou non. Les variables disponibles pour construire des estimateurs ne sont pas indépendantes. Par ailleurs, nous ne connaissons pas la régularité de la fonction que nous voulons estimer. Nous avons donc besoin d'outils spécifiques dans deux directions : méthodes de statistique non paramétrique adaptatives d'une part, méthodes de couplage et inégalité de covariance pour des variables mélangeantes d'autre part. Nous avons utilisé la sélection de modèles pour construire des estimateurs adaptatifs. Le risque de ces estimateurs est majoré soit en utilisant des inégalités de type Bernstein et une décomposition sur un réseau, soit grâce au lemme de couplage de Berbee qui permet de se ramener à des variables indépendantes par blocs et à l'inégalité de Dalagrand. Les performances des estimateurs sont illustrées par des simulations. Nous avons aussi testé nos estimateurs sur des données réelles (données neuronales).
Résumé / Abstract : In this thesis, we estimate in a non-parametric way the parameters or the density (and its derivatives) of a diffusion process /left((X_{t}/right)_{t\gep0} uni or multi-dimensional satisfying the stochastic differential equation: dX_{t}=b(X_{t})dt +\sigma(X_{t})dW_{t}. This process is assumed to be stationary and exponentially \béta-mixing. We have at disposal high frequency data (noisy or not) of this process. We do not have independent data to construct estimators. Moreover, we do not know the regularity of the function we want to estimate. Then we need tools in two directions: non-parametric estimation methods for one hand, and coupling methods and covariance inequalities for the other hand. The non-parametric estimators are constructed thanks to model selection. The adaptive estimator risk is bounded either by Bernstein-type inequalities and a decomposition on a lattice, or thanks to Berbee's coupling lemma and Talagrand's inequality. The estimators performances are illustrated by simulations. We also test our estimators on real data (neural data).