Date : 2009
Editeur / Publisher : [S.l.] : [s.n.] , 2009
Type : Livre / Book
Type : Thèse / ThesisLangue / Language : français / French
Groupes fondamentaux (mathématiques)
Résumé / Abstract : Le groupe fondamental tempéré est en géométrie analytique p-adique un analogue du groupe fondamental topologique des variétés complexes qui tiennent compte d'uniformisations apparaissant en géométrie rigide et des revêtements étales finis. Plus précisément, le groupe fondamental tempéré d'une variété p-adique classifie ses revêtements étales qui deviennent des revêtements topologiques pour la topologice de Berkovich après changement de base par un revêtement étale fini. Dans cette thèse sont prouvés des résultats généraux sur le groupe fondamental tempéré, telle que l'invariance par extension isométrique algébriquement close du corps de base, la compatibilité aux produits, l'invariance birationnelle et une description du groupe tempéré des variétés abéliennes. Le groupe fondamental tempéré d'une courbe dépend beaucoup plus de la courbe elle-même que l'analogue toppologique en complexes ou l'analogue profini en géométrie algébrique. Ainsi, on peut reconstruire le graphe de la réduction stable à partir du groupe fondamental tempéré. Ici, on prouve que, pour une courbe de Mumford, on peut même reconstruire la métrique naturelle de ce graphe à partir du groupe fondamental tempéré. Enfin, on décrit la partie (p1) du groupe fondamental tempéré d'une variété propre et lisse ayant réduction semistable en termes du groupe fondamental logarithmique de la réduction et de la combinatoire de cette réduction. Ceci nous permet également de définir des morphismes de cospécialisation de entre les groupes fondamentaux tempérés (pf) des fibres d'une famille lisse admettant une réduction semistable.
Résumé / Abstract : The tempered fondamental group is in p-adic analytic geometry an analog of the topological fondamental group of complex manifolds that takes into account uniformisation in rigid geometry and finite etale coverings. More precisely, the tempered fondamental group of a p-adic manifold classifies etale coverings that become topological coverings after pullback by some fînite etale covering. In this thesis, we prove some general results about the tempered fondamental group, such as the invariance by change of the base field, a Kunneth formula for products, birational invariance and a description of the tempered fondamental group of abelian varieties. The tempered fondamental group of a curve depends much more on the curve than in complex geometry for the topological fondamental group or in algebraic geometry for the profinite fondammental group. For example, one can reconstruct the graph of the stable reduction of a curve from its tempered fondamental group. Here we prove that, for a Mumford curve, one can even recover the metric on this graph. Finally, we describe the (p1) part of the tempered fondamental group of a smooth and proper variety with some semistable reduction in terms of the logarithmic fondamental group of the reduction and of the combinatorics of this reduction. Thanks to this description, we then construct cospecialisation morphisms between the (p') tempered fondamental groups of the fibers of a smooth family with semistable reduction.