Orbites géométriquement minimisantes pour un homéomorphisme de l'anneau déviant la verticale [Ressource électronique] : version non fibrée et fibrée / Olivier Jaulent ; sous la dir. de Patrice Le Calvez

Date :

Editeur / Publisher : Villetaneuse : Université Paris 13 , 2008

Type : Livre / Book

Type : Thèse / Thesis

Langue / Language : français / French

Géométrie

Anneaux topologiques

Isomorphismes (mathématiques)

Le Calvez, Patrice (1958-....) (Directeur de thèse / thesis advisor)

Université Sorbonne Paris Nord (Bobigny, Villetaneuse, Seine-Saint-Denis ; 1970-....) (Organisme de soutenance / degree-grantor)

Relation : Orbites géométriquement minimisantes pour un homéomorphisme de l'anneau déviant la verticale : version non fibrée et fibrée / Olivier Jaulent ; sous la dir. de Patrice Le Calvez / [S.l.] : [s.n.] , 2008

Résumé / Abstract : Nous étudions une classe particulière d’orbites, les orbites géométriquement minimisantes, d’un hom´eomorphisme de l’anneau d´eviant la verticale et exact-symplectique. Nous montrons que ces orbites joignent les deux bouts d’une r´egion d’instabilité d’un homéomorphisme exact-symplectique de l’anneau et généralisons un résultat de J. Mather. Dans le cas particulier des homéomorphismes du tore, les orbites géométriquement minimisantes ont un nombre de rotation vertical, ´egal à la borne supérieure de l’intervalle de rotation. Ceci complète des travaux de S. Addas-Zanata. Dans le cas d’un produit fibr´e en anneaux au-dessus d’une dynamique θ sur une base X compacte, nous montrons que si (X, θ) est minimal, l’absence de graphe invariant continu entraine la diffusion au sens de Birkhoff, tandis que des graphes presque continus représentent une obstruction lorsque (X, θ) est seulement transitif. Dans le cas o`u (X, θ) est transitif, la présence d’un phenomène de diffusion au sens de Birkhoff entraine la diffusion au sens de Mather.

Résumé / Abstract : We study a particular class of orbits, geometrically minimizing orbits, of an exact-symplectic twist homeomorphism. We prove that these orbits join the ends of the regions of instability of an exact-symplectic twist homeomorphism generalizing a result of J. Mather. In the special case of torus homeomorphisms, we show that geometrically minimizing orbits have a vertical rotation number. We prove this number is the supremum of the rotation interval. This completes a work of S. Addas-Zanata. In the general case of an annulus bundle over a dynamical system (X, θ) on a compact set X, we show that if (X, θ) is minimal and if there is no continuous invariant graph, there exist drift orbits. On the contrary, when (X, θ) is only transitive, quasi-continuous graphs may prevent the existence of drift orbits. However, the existence of Birkhoff-like drift orbits implies the existence of orbits joining the ends regions of instability.