Date : 2007
Editeur / Publisher : [S.l.] : [s.n.] , 2007
Type : Livre / Book
Type : Thèse / ThesisLangue / Language : français / French
Équations aux dérivées partielles
Homogénéisation (équations différentielles)
Résumé / Abstract : Ce travail porte principalement sur l’étude mathématique de méthodes numériques pour l’homogeneisation de fonctionnelles intégrales utilisées en élasticité non linéaire. Ces méthodes couplent, au niveau mésoscopique, un matériau hyperélastique hétérogène ou un réseau de liens en interaction, avec, au niveau macroscopique, un modèle d’élasticité non linéaire. La loi de constitution macroscopique est obtenue par la résolution de problèmes mésoscopiques, continus ou discrets. Aux chapitres 1, 2 et 3 on introduit les modèles mécaniques et les outils mathématiques et numériques utilisés par la suite. Aux chapitres 5, 6 et 7, on présente une méthode directe de résolution numérique du comportement homogénéisé d’un matériau composite périodique en grandes déformations et un cadre général pour l’analyse des méthodes d'homogénéisation numérique. On démontre notamment la convergence de méthodes numériques classiques sous des hypothèses générales ainsi qu’un résultat de correcteur numérique. On étend enfin les résultats au couplage avec des méthodes de sur-échantillonnage. Aux chapitres 8, 9 et 10, nous considérons une modélisation mesoscopique par un système discret. Nous étudions d’abord un problème de G-fermeture pour un réseau de résistances. Au chapitre suivant nous démontrons un résultat de représentation intégrale pour l’énergie d’un système de spins en interaction. Enfin, nous dérivons un modèle hyperélastique continu à partir d’un réseau stochastique de points en interaction, et l’appliquons pour démontrer la convergence de modèles discrets développés en mécanique. Dans une dernière partie, chapitre 11, nous présentons une nouvelle méthode numérique pour résoudre des problèmes d’interaction fluide structure, ou la structure est décrite par une coque tridimensionnelle.