Date : 2008
Editeur / Publisher : [S.l.] : [s.n.] , 2008
Type : Livre / Book
Type : Thèse / ThesisLangue / Language : anglais / English
Résumé / Abstract : Cette thèse est consacrée à l'étude de la théorie mathématique sous-tendant la construction et la solution d'une classe particulière de systèmes quantiques exactement résolubles : son objectif est d'utiliser les superalgèbres de Lie comme un outil pour construire et résoudre les chaînes de spins intégrales. Nous développons une approche générale et systématique premettant de construire et traiter simultanément une large classe de systèmes intégrables partageant la même supersymétrie, allant du cas bien connu où tous les sites portent la représentation fondamentale (par exemple le modèle t-J) à des situations plus complexes d'intérêt physique comprenant des chaînes de spins alternées, avec impuretés etc. Les deux premiers chapitres sont consacrés à un examen des résultats connus concernant le Yangien du superalgèbre de Lie gl(mIn), nécessaire pour introduire la version graduée de la méthode de diffusion inverse quantique. Nous appliquons notre approche dans le chapitre 3 aux chaînes fermées et dans le chapitre 4 aux chaînes ouvertes. Dans ce chapitre sont étudiées les homologues super-symétriques de l'algèbre de réflexion et du Yangien twisté, qui sont les structures algébriques permettant d'imposer des conditions aux bords qui préservent l'intégralité. Dans le dernier chapitre la méthode de la fusion pour chaînes de spins avec supersymétrie sl(1I2) est traitée en détail. La méthode de solution que nous utilisons, tant dans les cas fermé et ouvert, est la généralisation au cas super-symétrique de l'Ansatz de Bethe analytique, dans laquelle les équations de Bethe paramétrant les nombres quantiques du système sont obtenues comme conditions d'analycité pour les valeurs propres des hamiltoniennes.
Résumé / Abstract : These thesis deals with the mathematical theory underlying the construction and solution of a particular class of exactly solvable quantum systems : its aim is to use Lie superalgebras as a tool to build and solve integrable quantum spin chains. We develope a general and systematic approach allowing one to build and simultaneously treat a large class of integrable systems sharing the same supersymmetry, ranging from the well known case where all sites carry the fundamental representation (e.g. the t-J model), to more complicated situations of physical interest including alternating spin chains, chains with impurities etc. The two first chapters are devoted to a review of known results about the Yangian of the general Lie super algebra gℓ(m|n), necessary to introduce the graded version of the quantum inverse scattering method. We then apply our approach to periodic spin chains in chapter 3 and to opens spin chains in chapter 4. In this chapter, the supersymmetric counterparts of the reflection algebra and of the twisted Yangian are studied, these being the algebraic structures that allow one to impose boundary conditions that preserve integrability. In the last chapter the fusion method for spin chains with sℓ(1|2) supersymmetry is treated in detail. The solution method we use, both in the closed and open case, is the generalization to the supersymmetric case of the analytical Bethe Ansatz, in which the Bethe equations parametrizing the quantum numbers of the system are obtained as analyticity conditions for the spectrum of the hamiltonians.