Date : 2006
Editeur / Publisher : [Lieu de publication inconnu] : [éditeur inconnu] , 2006
Type : Livre / Book
Type : Thèse / ThesisLangue / Language : français / French
Équations différentielles stochastiques -- Solutions numériques
Théorèmes des limites (théorie des probabilités)
Résumé / Abstract : Dans cette thèse on étudie des schémas numériques pour des processus X à coeffcients discontinus. Un premier schéma pour le cas unidimensionnel utilise les Équations Différentielles Stochastiques avec Temps Local. En effet en dimension un les processus X sont solutions de telles équations. On construit une grille sur la droite réelle, qu’une bijection adéquate transforme en une grille uniforme de pas h. Cette bijection permet de transformer X en Y qui se comporte localement comme un Skew Brownian Motion, pour lequel on connaît les probabilités de transition sur une grille uniforme, et le temps moyen passé sur chaque cellule de cette grille. Une marche aléatoire peut alors être construite, qui converge vers X en h1/2. Toujours dans le cas unidimensionnel on propose un deuxième schéma plus général. On se donne une grille non uniforme sur la droite réelle, dont les cellules ont une taille proportionnelle à h. On montre qu’on peut relier les probabilités de transition de X sur cette grille, ainsi que le temps moyen passé par X sur chacune de ses cellules, à des solutions de problèmes d’EDP elliptiques ad hoc. Une marche aléatoire en temps et en espace est ainsi construite, qui permet d’approcher X à nouveau en h1/2. Ensuite on présente des pistes pour adapter cette dernière approche au cas bidimensionnel et les problèmes que cela soulève. Enfin on illustre par des exemples numériques les schémas étudiés.
Résumé / Abstract : In this thesis numerical schemes for processes X generated by operators with discontinuous coeffcients are studied. A first scheme for the one-dimensional case uses Differential Stochastic Equations with Local Time. Indeed, in dimension one, the processes X are solutions of such equations. We construct a grid on the real line, that is transformed by a proper bijection in a uniform grid of step h. This bijection also transforms X in some process Y , that behaves locally like a Skew Brownian Motion (SBM). We know the transition probabilities of the SBM on a uniform grid, and the average time it spends on each of its cells. A random walk can then be built, that converges to X in h1/2. A second scheme, that is more general, is proposed still for the dimension one. A non uniform grid on the real line is given, whose cells have a size proportional to h. Both the transition probabilities of X on this grid, and the average time it spends on each of its cells, can be related to the solutions of proper elliptic PDE problems, using the Feynman-Kac formula. A time-space random walk can then be built, that converges to X again in h1/2. Next some directions to adapt this approach to the two-dimensional case are given. Finally numerical exemples illustrate the studied schemes.