Date : 2006
Editeur / Publisher : [S.l.] : [s.n.] , 2006
Type : Livre / Book
Type : Thèse / ThesisLangue / Language : français / French
Fermat -- Pierre de -- 1601-1665
Bézout -- Étienne -- 1730-1783
Euler -- Leonhard -- 1707-1783
Lagrange -- Joseph-Louis -- 1736-1813 -- mathématicien
Résumé / Abstract : Les techniques d'élimination sont aussi vieilles que l'algèbre elle-même, mais dans la seconde moitié du XVIIe s. apparaissent des méthodes générales, algorithmes d'élimination des inconnues dans des systèmes d'équations polynomiales, chez Fermat, Hudde, Newton, Leibniz, Rolle. Nous comparons ces méthodes, aussi bien au plan historique qu'au plan mathématique, et nous retraçons l'histoire de la théorie de l'élimination, qui ne naît vraiment qu'au XVIIIe s., lorsque Euler, Cramer, Lagrange, Waring, Bézout et bientôt Poisson s'occupent de démontrer le "théorème de Bézout", de trouver des formules exprimant l'équation finale résultant de l'élimination, de déceler les "facteurs superflus" introduits par certaines méthodes, et d'appliquer cette théorie à la géométrie et aux grands problèmes contemporains en algèbre. Le traité de Bézout (1779) est en avance sur son temps et prépare une troisième période, au cours de laquelle l'élimination acquiert un rôle fondamental, aussi bien en lien avec la géométrie algébrique que dans ses rapports avec la théorie des invariants, par exemple chez Jacobi, Hesse, Cayley, Sylvester, Weierstrass, Halphen, Noether, Kronecker. Au profit de l'étude des structures en algèbre au XXe s. l'élimination passe au second plan sans toutefois disparaître. Nous utilisons dans nos analyses les travaux les plus récents sur l'élimination, comme ceux de J.-P. Jouanolou. Enfin, de même que pour l'histoire du concept de multiplicité d'intersection, nous avons cru pouvoir consacrer des chapitres importants à l'oeuvre de Faulhaber, à celle de Maclaurin, et au grand mémoire de 1882 de Kronecker.
Résumé / Abstract : Elimination techniques are as old as algebra itself, however in second half of the XVIIth century général methods appear, which are algorithms to eliminate the unknowns in Systems of polynomial équations, found by Fermat, Hudde, Newton, Leibniz, Rolle. We compare thèse methods, from a historical as well as mathematical point of view, and we retrace the history of elimination theory, which truly starts in the XVIIIth century, when Euler, Cramer, Lagrange, Waring, Bezout and soon Poisson deal with demonstrating "Bezout's theorem", finding formulas for the final equation resulting from elimination, discovering "superfluous factors" introduced by some methods, and applying this theory to geometry and major contemporary issues in algebra. Bézout's treatise (1779) is ahead of its time and prepares a third period, along which elimation acquires a fundamental role, in relation to both algebraic geometry and invariant theory, a in Jacobi, Hesse, Cayley, Sylvester, Weierstrass, Halphen, Noether, Kronecker. In XXth century, in favor of the study of algebraic structures, elimination theory is receding although not disappearing. In our analysis, we use the most recent works on elimination, as those of J.-P. Jouanolou. Finally, as we have done for the history of the concept of intersection multiplicity, we have also devoted important chapters to the works of Faulhaber, to the works of Maclaurin, and to the great memoir (1882) of Kronecker.