Date : 2004
Editeur / Publisher : [S.l.] : [s.n.] , 2004
Type : Livre / Book
Type : Thèse / ThesisLangue / Language : français / French
Résumé / Abstract : Dans ce travail, nous nous intéressons aux propriétés de mélange des applications non uniformément dilatantes, par exemple les applications en dimension 1 ayant un point fixe neutre. Après un premier chapitre introductif rappelant des résultats bien connus sur les applications Gibbs-Markov, nous établissons au chapitre deux des résultats très précis sur la vitesse de décorrélation des applications localement Gibbs-Markov (bornes inférieures et supérieures), en appliquant des techniques d'algèbres de Banach aux opérateurs de transfert de premier retour. Dans le chapitre trois, nous montrons en utilisant des techniques de temps hyperboliques qu'une large classe d'applications admet un modèle localement Gibbs-Markov, ce qui permet d'appliquer les résultats du deuxième chapitre à ces applications. Les deux derniers chapitres sont consacrés à des théorèmes de type probabiliste pour les sommes de Birkhoff de fonctions hölderiennes, dans le cadre des applications localement Gibbs-Markov. En étendant à un cadre perturbatif les techniques spectrales du chapitre deux, nous montrons d'une part la convergence des sommes de Birkhoff vers des lois normales ou des lois stables(suivant le système considéré), et d'autre part des théorèmes limites fins comme le théorème de Berry-Esseen (avec vitesse optimale) ou le théorème de la limite locale, sous des hypothèses légèrement plus fortes.
Résumé / Abstract : In this thesis, we study the mixing properties of non uniformly expanding maps, for example maps in dimension 1 with a neutral fixed point. After an introductory chapter recalling well known facts on Gibbs-Markov maps, we establish in chapter 2 very precise results on the speed of decay of correlations of locally Gibbs-Markov maps (lower and upper bounds), by applying Banach algebra techniques to the first return transfer operators. In chapter 3, we show - using hyperbolic times techniques - that a large class of maps admit locally Gibbs-Markov models, which makes it possible to apply the results of the previous chapter to these maps. The last two chapters are devoted to probabilistic limit theorems for the Birkhoff Burns of Hölder functions, in the setting of locally Gibbs-Markov maps. We extend to a perturbative setting the spectral results of chapter 2, and prove on the one hand the convergence of the Birkhoff summs to normal laws or stable laws (depending on the system we are considering), and on the other hand fine limit theorems, the Berry-Esseen theorem (with optimal speed) and the local limit theorem, under slightly stronger assumptions.