Date : 2003
Editeur / Publisher : [S. l.] : [s. n.] , 2003
Type : Livre / Book
Type : Thèse / ThesisLangue / Language : anglais / English
Semimartingales (mathématiques)
Classification Dewey : 519,23
Résumé / Abstract : Nous proposons un calcul stochastique covariant pour des semimartingales dans le fibré tangent TM au dessus d'une variété M. Une connexion sur M permet de définir une dérivée intrrinsèque d'une courbe (Yt), C1 dans TM, la dérivée covariante. Plus précisément, c'est la dérivée de (Yt) vue dans un repère mobile, se déplaçant parallèlement le long de sa courbe (x1)projetée sur M. Avec le principe de transfert, Norris définit l'intégration covariante le long d'une semimartingale dans TM. Nous décrivons le cas où la semimartingale saute dans TM, en utilisant les travaux de Norris et les résultats de Cohen sur le calcul stochastique à sauts sur une variété. Nous comprenons, que, selon l'ordre dans lequel on compose la fonction qui donne les sauts et la connexion, on obtient un calcul stochastique covariant à sauts covariants. Tous deux dépendent du choix de la connexion et des objets (interpolateurs et connecteurs) décrivant les sauts au sens de Stratonovich ou d'Itô. Nous étudions les choix qui rendent équivalents les deux calculs. Sous certaines conditions, on retrouve les résultats de Norris lorsque (Yt) est continue. Le cas continu est décrit par un calcul covariant continu d'ordre deux, formalisme défini à l'aide de la notion de connexion d'ordre deux.
Résumé / Abstract : We propose a stochastic covaraiant calculus for càdlàg semimartingales in the tangent bundle TM over a manifold M. A connexion on M allows us to define an intrinsic derivative of a C1 curve (Yt) in TM, the covariant derivative. More precisely, it is the derivative of (Yt) seen in a frame moving parallely along its projection curve (xt) on M. With the transfer principle, Norris defined the stochastic covariant integration along a continuous semimartingale in TM. We describe the case where the semimartingale jumps in TM, using Norris's work and Cohen's results about stochastic calculus with jumps on manifolds. We see that, depending on the order in which we compose the function giving the jumps and the connection, we obtain a stochastic covariant calculus with jumps or a stochastic calculus with covariant jumps. Both depend on the choice of the connection and of the tools (interpolation and connection rules) describing the jumps in the meaning of Stratonovich or Itô. We study the choices that make equivalent the two calculus. Under suitable conditions, we recover Norris's results when (Yt) is continuous. The continuous case is described by a covariant continuous calculus of order two, a formalism defined with the notion of connection of order two.