Sur quelques problèmes non linéaires en physique des plasmas ; Sur des problèmes de diffusion non linéaires en hydrologie et en dynamique des populations... / Danielle Hilhorst-Goldman

Résumé / Abstract : La première partie de cette thèse concerne l’étude de problèmes non linéaires en physique des plasmas. On considère d’abord un problème de perturbation singulière associé à un problème aux limites non linéaire en dimension 1 sur un intervalle (O,R). On montre l’existence et l’unicité de la solution et on étudie son comportement asymptotique quand R → ∞ et quand un petit paramètre ε ↓ 0. On étudie aussi le comportement asymptotique quand t → ∞ de la solution d’un problème d’évolution associé. On étend finalement cette étude à des problèmes aux limites plus généraux en dimension supérieure et l’on montre que, quand ε ↓ 0, leur solution converge vers celle d’un problème à frontière libre. La deuxième partie de la thèse porte sur des problèmes de diffusion non linéaires. On démontre d’abord l’existence et l’unicité de la solution de problèmes aux limites liés à une équation doublement non linéaire, en hydrologie, et on étudie son comportement asymptotique quand t → ∞. On considère ensuite un système d’équations paraboliques dégénérées modélisant l’évolution dans le temps des densités de deux populations biologiques en interaction, leurs supports étant supposés disjoints à l’instant initial. Les résultats portent sur l’évolution et le comportement asymptotique de ces populations et de leurs supports quand t → ∞ et sur la régularité des frontières de ces supports.

Résumé / Abstract : In the first part of this thesis we consider certain nonlinear problems arising in plasma physics. We first study a singular two-point nonlinear boundary value problem on an interval (O,R); we prove that it has a unique solution and study its limiting behavior as R → ∞ and as a small parameter ε↓0. We also study the large time behavior of a related evolution problem. We then extend our study to more general boundary value problems in higher dimension and show that as ε↓0 their solution converges to the solution of a free boundary problem. The second part of the thesis concerns the study of certain nonlinear diffusion problems. We first show the existence and uniqueness of the solution of boundary value problems related to a doubly nonlinear diffusion equation in hydrology and studies its asymptotic behavior as t → ∞. We then consider a system of nonlinear degenerate parabolic equations which models the time evolution of the densities of two interacting biological populations. We suppose that their supports are initially disjoint. Our results concern the time evolution and the large time behavior of those populations and of their supports, and the regularity of the boundaries of the supports.